Beste antwoord
Stel dat er een cirkel is met vijf equidistante punten A, B, C, D en E op zijn omtrek zodat de boog ABCDEA de cirkel voltooit.
Er zijn dus vijf gelijke bogen (AB, BC, CD, DE en EA), elk onderspant een hoek {(360⁰) / 5) = 72⁰ in het midden.
Nu is de ster-hoek bij hoekpunt A niets anders dan de hoek die wordt ingesloten door boog CD in punt A; dat is {(72⁰) / 2} = 36⁰.
Dus de som van vijf ster-hoeken bij vijf hoekpunten = 5 * (36⁰) = 180⁰.
Antwoord
Dit probleem hangt af van hoe u een “ster” definieert. Maar goed, laten we beginnen met eenvoudige gevallen, dan zou de algemene formule zichzelf moeten laten zien.
Als er 3 punten zijn, kunnen we alleen een gelijkzijdige driehoek hebben, dus de hoek is 60 graden. ook dit als ster, definieer mijn ster later).
Als er 4 punten zijn, kunnen we alleen een vierkant hebben, dus de hoek is 90 graden.
Als er 5 punten zijn , we kunnen een vijfhoek hebben, waar de hoek 108 graden is; of we kunnen een “ster” hebben in de vraag, waar de hoek 36 graden is.
In het algemeen kunnen we voor n punten een cirkel in n gelijke boogsecties. Voor 3- en 4-punts gevallen is de enige manier waarop u een perfect-symmetrisch-gesloten lus (de sterdefinitie) kunt tekenen, door punten met hun aangrenzende punten te verbinden, in dat geval laten we zeggen hun stappen (aantal kruisende boogsecties in een lijnsectie) k zijn 1. Twee ononderbroken lijnen vormen een hoek, dus de formule van dit type ster (gelijkzijdige driehoek, vierkant, vijfhoek, zeshoek, enz.) is 180 * (n-2 * 1) / n graden.
In 3, 4 punt ca. se, er is geen andere oplossing dan stap van 1. In het 5-punts geval, naast de stap van 1, zal een stap van 2 de 36 graden ster vormen. Dus als stap k relatief priem is ten opzichte van de punten n, kunnen we de hoekformule
180 * (n-2 * k) / n graden hebben.
Dus in 6 punten , de enige oplossing is k = 1, dus de hoek is 120 graden.
In het geval van 7 punten kan k 1, 2 of 3 zijn, als k = 1 is de hoek 900/7 graden; wanneer k = 2 is de hoek 540/7 graden; wanneer k = 3 is de hoek 180/7 graden.
In het geval van 8 punten zou k 1 of 3 kunnen zijn, wanneer k = 1 is de hoek 135 graden; wanneer k = 3 is de hoek 45 graden.