Beste antwoord
De dichtheidsfunctie van de uniforme verdeling voor een interval van a tot b wordt gegeven door:
\ displaystyle f (x) = \ frac {1} {b – a} \ quad \ text {for} \ quad a \ leq x \ leq b
f (x) = 0 anders.
Laat E (X) de verwachting of de verwachte waarde van de willekeurige variabele X zijn.
Het gemiddelde van de uniforme verdeling is:
\ displaystyle \ mu = E (X) = \ int\_a ^ b \ frac {x} {b – a} \, dx
\ displaystyle \ mu = \ frac {b ^ 2 – a ^ 2} {2 (b – a)} = \ frac {a + b} {2}
We hebben ook:
\ displaystyle E \ left (X ^ 2 \ right) = \ int\_a ^ b \ frac {x ^ 2} {b – a} \, dx = \ frac {1} {3} \ left (a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ right)
De variantie wordt gegeven door :
\ displaystyle \ sigma ^ 2 = E \ left [(X – \ mu) ^ 2 \ right] = E (X ^ 2) – \ mu ^ 2
\ displaystyle \ sigma ^ 2 = \ frac {1} {3} \ left (a ^ 2 + a b + b ^ 2 \ right) – \ left (\ frac {a + b} {2} \ right) ^ 2
\ displaystyle \ sigma ^ 2 = \ frac {1} {12} (b – a) ^ 2
De standaarddeviatie is de squ zijn de wortel van de variantie, en dus wordt de standaarddeviatie van de uniforme verdeling gegeven door:
\ displaystyle \ color {red} {\ sigma = \ frac {ba} {\ sqrt {12}}}
Antwoord
Ik vertrouw op geheugen (ik ben nu 81) maar ik denk dat als f (x) = 1 / (ba) dan is de variantie (1/12) (ba) ^ 2