Beste antwoord
Zoals je is verteld in andere antwoorden √243 is 9√3.
3 ^ 5 = 3 ^ 4 • 3 = (3 ^ 2) ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • (√3) ^ 2 = (9√3) ^ 2
dus het getal dat in het kwadraat gelijk is aan 243 is het irrationele getal dat ik graag schrijf als 9√3. Dat is wat ik de “vereenvoudigde” of in de “eenvoudigste vorm” noem.
Als ik een vierkantswortel (of een kubuswortel, of …) wil vereenvoudigen, begin ik met het vinden van de priemfactorisatie van het getal onder de wortel.
Voor de priemfactorisatie van een getal, begin ik serieel te delen door delers van priemgetallen, totdat het eindresultaat 1 is. Het is duidelijk dat het getal het product is van alle getallen I gedeeld door.
Als ik naar 243 kijk, realiseer ik me dat het een oneven getal is.
Omdat het niet even is, zal ik het niet delen door het kleinste priemgetal: 2 .
Het volgende kleinste priemgetal is 3, en ik realiseer me dat 243 deelbaar is door 3 (en ook door 9) omdat de som van de cijfers een veelvoud is van 3 en 9.
243 ÷ 3 = 81, dus 243 = 81 * 3.
Op dat moment herken ik 81 als 9 • 9 of als 3 • 3 • 3 • 3 = 3 ^ 4, en weet dat 243 = 81 • 3 = 3 ^ 4 • 3 = 3 ^ 5.
Als ik een ander nummer dan 243 nodig had, of als ik mijn werk moest laten zien aan iemand die erop stond dat ik het zou doen ,
Ik zou doorgaan met delen door 3 Ik zou een resultaat van een geheel getal kunnen krijgen en dan doorgaan met delen door elk priemgetal dat werkte, 3, 5, 7, 11, 13, 19 proberen, totdat ik bij een priemgetal kwam dat, toen het kwadraat was, meer was dan het getal dat ik probeer verdelen. Als ik bijvoorbeeld vanaf het begin, of na een aantal delingen, iets moet vinden dat 101 deelt, nadat ik 2, 3, 5 en 7 heb geprobeerd en heb ontdekt dat geen van beide 101 deelt, zou ik zien dat 101 in het kwadraat 121 is . Aangezien dat kwadraat groter is dan 101, zou ik niet proberen te delen door 11, of 13 of 19, zou ik concluderen dat het enige priemgetal dat het deelt 101 is, 101 delen door 101, en klaar is kees.
Antwoord
De vierkantswortel van 243 is het niet-negatieve getal dat, in het kwadraat, 243 oplevert. Dat is wat het is, volgens de definitie van de vierkantswortel. (Symbolisch zeggen we dat \ sqrt {a} het niet-negatieve getal x is dat voldoet aan x ^ 2 = a.)
Het is een beetje groter dan 15 (waarvan het vierkant 225 is) en een beetje kleiner dan 16 (waarvan het kwadraat 256 is).
Factorisatie van 243, zoals gedaan in Bijay Shahs antwoord op deze vraag, geeft ons dat 243 = 3 ^ 5, dus \ sqrt {243} = 3 ^ \ frac52 = 9 \ sqrt {3}. Sinds \ sqrt {3} \ approx1.7 is dit consistent met wat we hierboven zagen.
Aangezien 243 niet eens in de macht van al zijn belangrijkste factoren valt, de vierkantswortel is irrationeel, en dus bestaat er geen eindige decimale weergave van de vierkantswortel. Het helpt te weten dat een getal niet de decimale weergave is; representaties van getallen zijn doorgaans niet uniek.