Beste antwoord
T\_n (x), de zoveelste Chebyshev-polynoom van de eerste soort, voldoet
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
We zijn op zoek naar T\_ {10} (x). We kennen de eerste:
T\_0 (x) = 1 \ quad omdat \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad omdat \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad omdat \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad omdat \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
We kunnen de machten van twee gemakkelijk berekenen,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
In het algemeen T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)) wat vrij snel volgt uit \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
De T\_n (x) voldoen aan de herhaling
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Aangezien T\_0 (x) en T\_1 (x) integercoëfficiënten hebben, vertelt de herhaling ons dat alle T\_n (x) integercoëfficiënten hebben.
Laten we de herhaling afleiden . We beginnen met het bewijzen van een trig-identiteit, een alternatieve somhoekformule die alleen cosinus gebruikt:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Nu,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
of laten x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Nu kunnen we T\_ {10} (x) vrij eenvoudig berekenen,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Dus we krijgen eindelijk ons antwoord,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Antwoord
Laat x = theta om het typen gemakkelijker te maken.
Onthoud dat vermenigvuldigen herhalen is d optellen.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Een manier om cos (10x) te vinden is door de identiteit voor de cosinus van de som van twee hoeken 9 keer, samen met de vergelijkbare identiteit voor sinus.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Vervang nu de 9x door 8x + x
en pas vervolgens de identiteiten voorzichtig opnieuw toe zonder de cos (x) en sin (x) die al in de opgave zitten te verliezen.
Overal waar u 8x ziet, vervangt u het door 7x + x, en past u de identiteiten opnieuw toe.
Ga door… ..
Misschien wilt u uw weg omhoog werken in plaats van naar beneden.
Zoek cos (3x), dan cos (4x), enz.
Terwijl je aan het werk bent, vraag jezelf af of er misschien een snellere manier is.
Zodra we een formule hebben voor
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
je zou kunnen denken
van cos (4x) als cos (2x + 2x)
en cos (8x ) als cos (4x + 4x).
Dan cos (10x) als cos (8x) + cos (2x).
Je zou Ik wil ook het resultaat voor cos (2x) vereenvoudigen, en mogelijk een Pythagorische identiteit gebruiken om het probleem in termen van alleen cosinus te houden zonder enige sinus in het resultaat.