Beste antwoord
Ik weet waar je om vraagt, maar leer alsjeblieft de schrijfconventies. Het moet cos (1/2) worden geschreven.
Om uw vraag te beantwoorden, moet u hier een rekenmachine gebruiken. Ik kan dit op geen enkele manier met de hand berekenen. Een ander ding is de waarde in radialen of graden. Ik zal ze hier allebei geven. Het is 0,99996 in graden en 0,8775 in radialen.
Antwoord
Heel wat mensen raken boos als iemand beweert dat 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Ik ben niet een van die mensen, maar ik wel denk dat als je een dergelijke claim begint in te dienen, je heel duidelijk voor je moet hebben wat het is dat bedoel je.
Wanneer je een oneindige som van elementen a\_n definieert, definieer je dit meestal als:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Als de limiet bestaat en een eindige waarde heeft, zeggen we dat de oneindige som convergeert , en we zeggen dat het gelijk is aan de genoemde limiet. Dus bijvoorbeeld:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Er zijn echter tal van oneindige sommen die divergeren , en we kennen deze doorgaans geen waarde toe. Een voorbeeld hiervan:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {bestaat niet.}
Men kan ook controleer dat:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
die niet convergeert — dus de reeks 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots is divergerend, en daarom kent de gebruikelijke limietdefinitie er geen waarde aan toe.
Er zijn echter manieren waarop u kan deze definitie uitbreiden. Dat wil zeggen, je kunt manieren bedenken om een eindige waarde toe te kennen aan divergerende reeksen die nog steeds overeenkomen met de waarden die we krijgen op de gebruikelijke manier voor convergente reeksen.
Het probleem is dat sinds deze methoden hun aard komt niet echt overeen met iets fysieks *, dus het beste dat we kunnen hopen is dat dergelijke methoden mooie formele eigenschappen hebben. In het bijzonder zouden we willen vragen dat ze aan de volgende axiomas voldoen:
1.) (Regelmaat) Als \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n convergent is, dan komt de sommatiemethode overeen met de gebruikelijke methode om de limiet te nemen.
2.) (Lineariteit) If \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A en \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B zijn sommeerbaar , dan hebben we \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Als r een reëel getal is, dan is \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabiliteit) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Deze axiomas zijn behoorlijk nuttig. U laat bijvoorbeeld zien dat elke sommatiemethode die aan deze drie axiomas voldoet, 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1 moet evalueren, aangezien:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Merk op dat zowel lineariteit als stabiliteit een belangrijke rol spelen in dit bewijs. Stabiliteit stelt ons in staat om de 1 aan de voorkant “eruit te halen”, en lineariteit stelt ons in staat om de 2 uit te splitsen.
Elke dergelijke optelmethode moet ook 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / evalueren. 2. Het bewijs is vergelijkbaar:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Er zullen echter divergerende reeksen zijn die niet kunnen worden geëvalueerd met een sommatiemethode die aan deze drie axiomas voldoet. Stel dat we een eindige waarde s kunnen toekennen aan de reeks 1 + 1 + 1 + \ ldots. Dan zouden we hebben:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Oeps. Het wordt helaas nog erger, omdat hieruit volgt dat geen enkele sommatiemethode die aan deze drie axiomas voldoet ook 1 + 2 + 3 + \ ldots kan evalueren, aangezien:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (door stabiliteit) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (door lineariteit)
Dus als je een sommatiemethode wilt definiëren die 1 + 2 + 3 + \ ldots evalueert, moet je ofwel lineariteit of stabiliteit weggooien. Er zijn verschillende benaderingen – sommigen offeren de ene op, anderen offeren de andere op.
Dit is helaas een indicatie van hoe de sommatie van divergerende reeksen verloopt: je hebt veel verschillende methoden om ze op te tellen, en dat doen ze niet altijd mee eens. Ze zijn het vaak eens voor belangrijke reeksen, maar als je iets beweert als 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, dan kun je maar beter absoluut duidelijk maken welke sommatiemethode je toevallig gebruikt.
Als getaltheoreticus is mijn favoriete benadering de regularisatie van de zetafuncties. Het basisvoorbeeld hiervan is dit: beschouw de Riemann-zetafunctie \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Deze formule is alleen convergerend als het reële deel van s groter is dan 1.Er is echter een standaardmanier om de Riemann-zetafunctie uit te breiden tot een functie op het hele complexe vlak (nou ja, je hebt een paar polen, maar hoewel dat belangrijk is, is het een technisch probleem) — dit wordt analytisch genoemd voortzetting, die je expliciet verkrijgt door een functionele vergelijking voor de zetafunctie te vinden.
Met analytische voortzetting vind je dat \ zeta (-1) = -1/12. Maar als u “plugt dat in” op uw oorspronkelijke uitdrukking van de zetafunctie, krijgt u:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Dit is hoe zetafunctie-regularisatie werkt: je koppelt een zetafunctie aan je reeks , en gebruik vervolgens analytische voortzetting om een eindige waarde aan de reeks te koppelen.
Dit is in veel opzichten een formeel spel dat, hoewel interessant, waarschijnlijk niet moet worden beschouwd als overeenkomend met iets tastbaars.
* Ja, ik ben me ervan bewust dat divergerende reeksen en integralen worden gebruikt in berekeningen in de kwantumveldentheorie. Ik zou echter beweren dat dergelijke methoden meer een computergereedschap zijn dan een fysieke interpretatie van wat er werkelijk aan de hand is. Bovendien hebben we op dit moment geen wiskundig rigoureus model van kwantumveldentheorie, dus elke vreemde hersenschim die dat niet zou moeten zijn, kan nog worden geherinterpreteerd of volledig worden verwijderd.