Beste antwoord
De vraag die je stelt, slaat nergens op. Ik neem aan dat het cos (20 °) is.
We weten wat cos (60 °) is en het goede is 60 ° = 3 * 20 °.
We weten cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Zet θ = 20 °, in de bovenstaande identiteit en uitgaande van t = cos (20 °) hebben we
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
Laat p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1, en p (1) = 1, het impliceert dat p drie echte wortels heeft waarvan er slechts één positief is (die tussen 0 en 1 ligt).
Zoals we weten is cos (20 °) een positief getal, dan is de positieve wortel van het bovenstaande polynoom de waarde van cos (20 °).
Sommige schattingen met behulp van de tweedelige methode met 2–3 iteratie geven u 0.94.
Dus cos (20 °) = 0.94 (ongeveer)
Antwoord
Je zou het moeten kunnen vinden met de trig identiteit: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Ik neem aan dat dit is afgeleid van de identiteit: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), maar twee keer gebruikt. Om eerlijk te zijn heb ik het gewoon opgezocht. )
Nu we dit weten, maak x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Voer vervolgens twee vervangingen uit. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} en y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3j – 4j ^ { 3}
En dan met wat manipulatie:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Het enige dat overblijft is het oplossen van y. Kubussen met de hand oplossen is lastig , maar ik zal u hier wijzen: hoe kan ik een vergelijking van de derde graad oplossen? Dan zal ik een beetje met mijn handen zwaaien en het hier oplossen: Computational Knowledge Engine
Je krijgt 3 oplossingen. Een negatief (niet correct), de andere twee zijn ongeveer .34 en .64.
Welke is het? sin (30) = .5, en omdat we weten dat de sinusfunctie toeneemt tot 90 graden, is de oplossing ongeveer .34.
Dus, wat is de exacte oplossing? Volgens Wolfram Alpha:
Dit zou een reëel getal moeten opleveren, maar ik ben niet van plan om die puinhoop voor je te vereenvoudigen .
Het volstaat te zeggen dat het kan, maar het is niet verwonderlijk dat het een enorme hoofdpijn is.