Beste antwoord
Op de eenheidscirkel is de x-coördinaat cos (x).
Neem de limiet als x 90 graden nadert. Wat je ziet is dat de x-coördinaat 0 nadert omdat de straal een loodrechte lijn nadert (dus geen x-component)
Neem de linkerlimiet en het is hetzelfde.
De driehoek valt natuurlijk uiteen.
Hier is een afbeelding voor hulp:
Zoals je ziet, wordt de grijze lijn (cosx) steeds kleiner.
Dat is het. Cos (90) is 0. Dat is 90 graden en geen radialen.
Als het in radialen is, dan is het zoiets als −0.448073616129.
Antwoord
Laat me je een meer complex geven antwoord.
Let, \ frac {A} {2} = x.
Dus, A = 2x
We hebben,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Laten we de Eulers “-formule nemen,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Als we deze formule onthouden, dan kunnen we dat begrijpen,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), aangezien alleen \ sin een oneven functie is, f (-x) = – f ( x), en \ cos is even, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Dus we eindigen met de formule.
Ook voor \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Waar i de denkbeeldige eenheid is . (i ^ 2 = -1)
Laten we nu eens de formule voor \ cos (2x) uit het hoofd leren, (door plug-in van x bij 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Laten we beginnen met het afleiden van onze formule.
Beginnend met \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Uitbreiding, we krijgen,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Nu, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ maal a ^ c = a ^ {b + c},
(Dus, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Laten we nu \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Als we \ sin ^ 2 (\ theta) aftrekken van \ cos ^ 2 (\ theta), krijgen we,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
We schrappen de minnen, in de noemer van \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Als we optellen, kunnen we -2 + 2 tot 0 annuleren, daarna krijgen we
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
wat dezelfde formule is voor \ cos (2x) zoals we eerder hebben besproken. Vandaar bewezen.
Maar we hebben nog iets te doen. Plug-in, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
wat dezelfde formule is voor cos (A)
Dus, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Bedankt voor A2A