Beste antwoord
cot θ = 1 / tan θ
cot (0 °) = 1 / tan (0 °) = 1/0; undefined
In wiskunde is elk getal gedeeld door nul ongedefinieerd.
Antwoord
Rekenvragen worden een stuk eenvoudiger als je de definitie van de termen in kwestie kent . Hoe wordt \ cot (x) gedefinieerd? Als we dat eenmaal weten, zouden we in staat moeten zijn om op korte termijn een antwoord te krijgen. Het zal je misschien verbazen te horen dat wiskundigen (in een poging om termen zo algemeen mogelijk te maken) deze functie niet meetkundig definiëren, noch definiëren ze deze in termen van andere “trig” -functies. Ze definiëren het in feite als Dit met behulp van een reeksweergave.
Of, om precies te zijn, ze definiëren het met die reeks voor 0 x pi. Voor x = 0, \ pi (en elk ander geheel veelvoud van \ pi), is de functie niet gedefinieerd. Vervolgens breiden ze de definitie uit voor alle niet-gehele veelvouden van \ pi door op te merken dat de functie periodiek is met punt \ pi. Met andere woorden, \ forall x \ ne n \ pi (voor elke n \ in \ mathbb Z), zeggen we dat \ cot (x) = \ cot (x- \ pi). Dit stelt ons in staat om de functie voor elke andere x in het domein te evalueren. Dus bijvoorbeeld:
\ cot (1000) = \ cot (1000- \ pi) = \ cot (1000-2 \ pi) = \ ldots = \ cot (1000-318 \ pi)
En aangezien 0 000-318 \ pi pi, kunnen we onze reeksvoorstelling gebruiken om \ cot (1000-318 \ pi) te evalueren en dus om de waarde van \ cot (1000) te weten.
Nu we de definitie van de functie begrijpen, leren we twee dingen. Ten eerste weten we dat ALS er een oplossing is, er oneindig veel oplossingen moeten zijn, want voor welke oplossing je ook vindt, het moet waar zijn dat n \ pi meer dan die oplossing ook een oplossing is voor elke n \ in \ mathbb Z. Ten tweede weten we dat het vinden van een oplossing betekent het vinden van een waarde van x waarvoor de oneindige reeks nul is. Dat lijkt een hele klus.
Gelukkig kunnen we aantonen dat deze reeksvoorstelling impliceert dat voor 0 pi, \ cot (x) = \ frac {\ cos (x)} { \ sin (x)}. Dus als \ cot (x) = 0 moet ook waar zijn dat \ cos (x) = 0. Dat is geen grote overwinning, want de cosinusfunctie wordt ook gedefinieerd in termen van een oneindige reeks, maar het is een veel eenvoudigere reeks. En het is een functie die de meeste mensen goed genoeg begrijpen om te weten dat de enige waarde van x tussen nul en pi waarvoor het gelijk is aan nul \ frac \ pi 2 is. (Het resultaat van de reeks bewijzen is een beetje werk dat ik heb gewonnen t get into.)
We leren dus dat x = \ frac \ pi 2 een oplossing is, en we hebben al aangetoond dat elk geheel veelvoud van \ pi verwijderd van deze oplossing ook een oplossing is. De reeks oplossingen moet dus zijn:
\ {x | x = \ frac \ pi 2 + n \ pi \ text {voor sommigen} n \ in \ mathbb Z \}