Beste antwoord
Het is verleidelijk om te schrijven
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Dan kunnen we schrijven
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Dat maakt de som:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Ik vind dit allemaal niet zo leuk voor een paar redenen. Ten eerste negeert het de vraag hoeveel waarden \ sqrt {i} heeft.
We hebben het radicaal toegepast op een reëel getal gedefinieerd als de hoofdwaarde, dus y = \ sqrt {x} is een functie . De belangrijkste waarde van een complexe vierkantswortel is complexer (een regel als de minst niet-negatieve hoek) en werkt niet zo goed.
Mijn mening is dat het beste beleid is om te zeggen dat we twee vierkantswortels hebben . \ sqrt {i} heeft meerdere waarden, hetzelfde als i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Het tweede probleem dat ik heb met de exponentiële formulering is de onmiddellijke sprong naar poolcoördinaten. We nemen automatisch een kronkelige route met transcendentale functies en hun inversies. De vierkantswortel van een complex getal vereist dat niet. We kunnen controleren
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
waar we een niet-standaard \ textrm nodig hebben {sgn} (0) = + 1.
We hebben a = 0, b = 1 dus
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Geen trig-functies nodig. Evenzo geeft a = 0, b = -1
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
De som lijkt vier mogelijke waarden:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Laten we de waarden van tussen haakjes uitwerken.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
dus we hebben inderdaad vier waarden, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
We kunnen dit schrijven als
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad voor integer k
Er is nog een ander probleem dat u moet overwegen. Soms, wanneer we uitdrukkingen schrijven die geconjugeerd lijken te zijn, wordt bedoeld dat wanneer meerdere waarden worden overwogen, de geconjugeerde relatie behouden blijft. Een voorbeeld is de depressieve kubus:
x ^ 3 + 3px = 2q heeft oplossingen
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Elk van die kubuswortels heeft drie waarden over de complexe getallen. Maar de kubus zelf heeft slechts drie oplossingen. Dus hoewel we in de verleiding kunnen komen om deze uitdrukking als negen verschillende waarden te interpreteren, weten we dat het er maar drie zijn. De twee kubuswortels zijn bedoeld als conjugaten, dus moeten als zodanig worden gepaard.
In deze interpretatie voegen we altijd conjugaten toe, zodat we alleen de echte oplossingen krijgen:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} of (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } wat \ pm \ sqrt {2} is.
Ten slotte, als we de radicaal interpreteren als hoofdwaarde, krijgen we \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} in de eerste kwadrant, en we moeten kiezen tussen het tweede en vierde kwadrant voor de hoofdwaarde van \ sqrt {-i}. De regel “minst positieve hoek” suggereert het tweede kwadrant, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} dus
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Beetje een puinhoop, al deze verschillende interpretaties.
Antwoord
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {en} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega is de derde wortel van eenheid: z ^ 3 = 1.
De wortels van deze vergelijking zijn: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
We hebben: u ^ 3 = 2 + 2i en (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Dus:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {met} \; k \ in {0,1,2}
Dus:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
We verkrijgen:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ tekst {of} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {of} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3