Beste antwoord
Als je niet aan het slepen bent, neem ik aan dat je de exacte waarde van \ sin 38 wilt hebben. (Waarom? Wie weet.) Ik zal beschrijven hoe je tot die exacte waarde kunt komen. We gebruiken twee beweringen. Als we de exacte waarde van \ sin x weten, dan kunnen we de exacte waarde van \ sin nx berekenen voor alle gehele getallen n. Als we de exacte waarde van \ sin x kennen, kunnen we de exacte waarde van \ sin \ frac {x} {3} berekenen.
Het bovenstaande betekent dat, als we \ sin zouden vinden 1, dan kunnen we \ sin N vinden voor elk geheel getal N.
Dus we bewijzen de beweringen:
Bewering 1 : Als we de exacte waarde van \ sin x weten, dan kunnen we de exacte waarde van \ sin nx vinden, voor een positief geheel getal n. (De negatieve waarden volgen).
Bewijs : we gebruiken inductie op n. Het is duidelijk dat de bewering waar is voor n = 1. Voordat u verder gaat, moet u er rekening mee houden dat kennis van \ sinx kennis van \ cos x impliceert. Nu, \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x en we zijn klaar.
Bewering 2 : als we de exacte waarde van \ sin x kennen, kunnen we de exacte waarde van \ sin \ frac {x} {3} vinden.
Bewijs : deze is interessanter. Laat voor het argument \ sin \ frac {x} {3} = a. Nu \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} of 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0 waar we \ sin x kennen. Aangezien dit een kubiek is, kan het exact worden opgelost.
We kennen \ sin 36 en \ sin 30, dus we kennen \ sin 6 en dus \ sin 3 en tenslotte \ sin 1.
Antwoord
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0.2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) -0.2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2)
S0 het gaat.