Beste antwoord
Als we de trigonometrische tabellen niet willen gebruiken, kunnen we een geschatte waarde krijgen van \ tan 27 ^ o door de Taylor-uitbreiding van \ tan x te gebruiken.
De Taylorreeks van een reële of complexe waardefunctie f (x), die oneindig differentieerbaar is bij een reëel of complex getal a, wordt gegeven door
f (x) = \ sum \ limieten\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, waarbij f ^ {(n)} (a) is de waarde van de n ^ {th} afgeleide op x = a.
Merk op dat de hoek uitgedrukt moet worden in radialen.
Laat f (x) = \ tan x en a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radialen.
\ Rightarrow \ qquad f “(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3}, en,
\ qquad f “” (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
We willen de waarde van \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Als we dan alleen de eerste twee termen van de Taylor-reeks gebruiken, krijgen we ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0.507537.
De fout in deze waarde is -0.3902 \\%.
Alleen de eerste drie termen gebruiken van de Taylor-serie, krijgen we,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f “” (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592.
De fout in deze waarde is -0.1831 \\%.
Als we een grotere nauwkeurigheid willen, kunnen we meer termen gebruiken.