Beste antwoord
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
Voor x + 2 = 0 hebben we x = -2
Voor x ^ 2-2x + 4 = 0, we moeten het oplossen met de kwadratische formule:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 – 4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
We krijgen de oplossing x = 1 + i \ sqrt {3} en x = 1 – i \ sqrt {3}
Als we het hebben over reële getallen, -8 heeft één kubuswortel: -2
Als we het over complexe getallen hebben, heeft -8 drie kubuswortels: -2, 1 + i \ sqrt {3} en 1 – i \ sqrt { 3}
Antwoord
Je geeft niet aan of je het antwoord in een reële of complexe context wilt. Er is één echte wortel en een paar complexe geconjugeerde wortels. U noemt “kubuswortel” wel in enkelvoud. Daarom lijkt het logisch om het geval van een echte context met zijn enige echte wortel en afzonderlijk het geval van de hoofdwortel in een complexe context te beschouwen.
In een echte context is de kubuswortel van −8 −2.
In een complexe context is de hoofdkubuswortel van −8 1 + i \ sqrt {3}. Dit lijkt misschien vreemd dat de root die in een echte context is geselecteerd, niet ook in een complexe context wordt geselecteerd, ook al is de echte root beschikbaar. De belangrijkste wortel in een complexe context is echter degene die het dichtst bij de positieve reële as ligt, en als er twee het dichtst bij zijn, neem dan die met een positief imaginair deel. De kubuswortel is geen continue functie in het complexe vlak – er is een tak uitgesneden langs de negatieve reële as.