Beste antwoord
De Del-operator is een manier om de afgeleide van een vector te vinden. U bent wellicht bekend met het vinden van de afgeleide voor scalaire functies, die kan worden weergegeven door iets in de volgende vorm
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f “(x)
waar f (x) een functie is van x, f “(x) de afgeleide is en \ frac {d} {dx} de term is die ons vertelt om de afgeleide in de eerste plaats te nemen. Je kunt \ frac {d} {dx} zien als de afgeleide operator, omdat het je vertelt een afgeleide te nemen van het ding waar het naast staat.
Nu willen we dit ook doen voor vectoren, meestal die weergegeven in Cartesiaanse coördinaten (functies van x, y en z). Waarom? Omdat veel fysische verschijnselen (zoals elektrische of gravitatievelden) kunnen worden beschreven als vectoren, en de veranderingen van dit fenomeen (en dus de afgeleiden) belangrijk zijn.
Dus hoe nemen we de afgeleide van een vector ? We gebruiken de Del-operator. Omdat we het met vectoren willen gebruiken, moet het zelf een vector zijn. En aangezien we het voor alle drie de cartesiaanse coördinaten willen gebruiken en niet alleen x, zal het meer letters bevatten. Uiteindelijk lijkt de Del-operator erg op onze bovenstaande afgeleide operator, maar met nog een paar termen:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partiële} {\ partiële x } + {\ hat y} \ frac {\ partiële} {\ partiële y} + {\ hat z} \ frac {\ partiële} {\ partiële z}
De \ nabla is wat we de Del Operator, hoewel het symbool officieel een nabla is; Ik heb eerlijk gezegd net geleerd dat het een omgekeerde delta werd genoemd! Behalve alleen een afgeleide met betrekking tot x, nemen we nu ook gedeeltelijke afgeleiden met betrekking tot y en z. Als we een partiële afgeleide nemen, behandelen we alle variabelen behalve één als constanten, en nemen we de afgeleide met betrekking tot de door ons gekozen variabele.
Aangezien er twee manieren zijn om vectoren te vermenigvuldigen, krijgen we natuurlijk twee manieren om een vectorafgeleide te nemen. De twee manieren om vectoren te vermenigvuldigen zijn door het puntproduct en het kruisproduct te gebruiken ; het resultaat van elke vermenigvuldiging is respectievelijk een scalaire waarde en een vectorwaarde.
Een voorbeeld met het puntproduct is het berekenen van de divergentie van het elektrische veld:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Hier nemen we een afgeleide met behulp van het puntproduct en houden we de scalaire waarde {\ rho} \_v over, wat de volumeladingsdichtheid is in een regio.
Een voorbeeld van het gebruik van het kruisproduct is het berekenen van de krul van het elektrische veld:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Hier nemen we een afgeleide met behulp van het kruisproduct, en behouden we de vectorwaarde \ mathbf {B} (meer specifiek de tijdsafgeleide).
De Del Operator is echter ook nuttig buiten vectoren. Als we de Del-operator behandelen als slechts een som van drie verschillende dingen, kunnen we deze vermenigvuldigen met een scalaire functie en die functie wordt over het hele ding verdeeld:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partiële f (x, y, z)} {\ partiële x} + {\ hat y} \ frac {\ partiële f (x, y, z)} {\ partiële y} + {\ hat z} \ frac {\ partiële f (x, y, z)} {\ partiële z}
In dit geval hebben we een scalair in een vector veranderd! Dit staat bekend als het nemen van de ‘gradiënt’ van de scalaire functie. Wat het doet, is dat het je vertelt in welke richting de functie het snelst verandert. Dit wordt vaak gebruikt voor potentiële velden, die de volgende vorm aannemen:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
waarbij \ mathbf {U} een potentiële energie is (zoals een veer of zwaartekracht) en F de kracht is die het resultaat is van plaatsing in dat veld. Het is nog steeds een vectorafgeleide, zoals we eerder de Del-operator hebben beschreven, het is alleen de vectorafgeleide van een scalair in plaats van de vectorafgeleide van een vector. Ja, die bestaan ook!
En het gaat maar door. Misschien heb je de term {\ nabla} ^ 2 gezien; dit staat bekend als het Laplaciaan, en wordt gezien in zaken als de golfvergelijking. In feite wordt de Del Operator twee keer achter elkaar gebruikt. Het kan worden uitgebreid naar andere coördinatensystemen met meer variabelen, of teruggebracht tot twee of één dimensie. Het is een heel belangrijk concept, en wordt in zowat elke tak van de natuurkunde gebruikt!
Antwoord
De del-operator (ook wel een nabla genoemd) wordt als volgt gedefinieerd in cartesiaanse coördinaten :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partieel} {\ partieel x} \ hat {i} + \ frac {\ partieel} {\ partiële y} \ hat {j} + \ frac {\ partiële} {\ partiële z} \ hat {k}
Wat betreft de fysieke betekenis?
De del-operator fungeert als het vector-calculusequivalent van een ruimtelijke afgeleide. Er zijn drie soorten derivaten die zijn gekoppeld aan de del-operator. Laten we aannemen dat de A een vector is en \ phi een scalair is.
Het Verloop: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partiële \ phi} {\ gedeeltelijke x} \ hat {i} + \ frac {\ partiële \ phi} {\ partiële y} \ hat {j} + \ frac {\ partiële \ phi} {\ partiële z} \ hat {k}
De Divergentie: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partiële A\_x} {\ partiële x} + \ frac {\ partiële A\_y} {\ partiële y} + \ frac {\ partiële A\_z} {\ partiële z}
De Curl: curl (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partieel} {\ partieel x} & \ frac {\ partieel} {\ partieel y} & \ frac {\ Partial} {\ Partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Elk van deze soorten afgeleiden heeft interessante eigenschappen die u zelf kunt googlen.
Ik hoop dat dit helpt!
Opmerking: al deze vergelijkingen zijn verschillend in andere coördinatensystemen (bijv. sferisch, cilindrisch) . Wees voorzichtig!