Beste antwoord
Aangezien dit wordt gevraagd onder het onderwerp Software Engineering, kunnen we misschien representatie bespreken.
Acht gegevensbits (waarbij een bit een schakelaar is die een 1 of een 0 voorstelt) kan als volgt een geheel getal zonder teken bevatten:
0 = 00000000
1 = 00000001
2 = 00000010
4 = 00000100
8 = 00001000
16 = 00010000
256 = 10000000
511 = 11111111
Onze 8 gegevensbits kunnen dus een geheel getal zonder teken bevatten dat zo groot is als 255 en zo klein als 0. Real-world applicaties kunnen echter zowel negatieve als positieve getallen vereisen.
Om plaats te bieden aan gehele getallen met teken, moeten we een deel van onze opslagruimte opgeven. Er zijn verschillende schemas die dit doen.
Het eenvoudigste schema zou zijn om de eerste bit te gebruiken om het teken weer te geven (bijvoorbeeld nul is positief en 1 is negatief). Dit heeft het grappige gevolg dat het een positieve en een negatieve nulwaarde heeft.
+ 0 = 00000000
- 0 = 10000000
1 = 00000001
- 1 = 10000001
+ 2 = 00000010
- 2 = 10000010
+ 64 = 01000000
- 64 = 11000000
+127 = 01111111
Hierdoor kunnen we nummers opslaan van -127 tot +127, dat zijn 255 nummers (inclusief 0).
Een andere manier om dit te doen is door gebruik te maken van wat wordt genoemd ones-complement opslag. Hiervoor is het negatieve getal de bitreeks die tegenovergesteld is aan het positieve getal.
Bijvoorbeeld:
0 = 00000000
0 = 11111111
2 = 00000010
- 2 = 11111101
Rekenen met negatieve getallen stelt ons in staat om de twee getallen op te tellen. Bijvoorbeeld 2 + -2 wordt
+ 2 = 00000010
-2 = 11111101
--------------
= 11111111
die we eerder zagen was nul. Dus het bereik dat we in deze weergave met 8 bits kunnen opslaan, zijn de gehele getallen tussen -127 en +127, of 255 getallen (aangezien we nul als een enkel getal opnemen).
Omdat het negatieve van nul nul is , zijn er nog steeds twee weergaven van nul. Dat is een beetje verspilling, dus om dit te omzeilen, wordt twee-complement gebruikt. Dat neemt het enen-complement negatieve getal en voegt er een toe. In deze weergave
0 = 00000000
2 = 00000010
- 2 = 11111110
- 1 = 11111111
1 = 00000001
-128 = 10000000
127 = 01111111
-127 = 10000001
Dus het bereik dat we in deze representatie met 8 bits kunnen opslaan, zijn de gehele getallen tussen -128 en +127, of 256 getallen in totaal. Door dit schema te gebruiken, kunnen we alle combinaties effectiever gebruiken, wat erg belangrijk kan zijn als we het beste gebruik willen maken van de bronnen die fundamentele zaken vertegenwoordigen zoals gehele getallen met teken.
Er zijn andere vormen van ondertekende representaties van gehele getallen die kunnen worden gezien op Getekende getalrepresentaties – Wikipedia .
Antwoord
Ten eerste, geen oplossing met een van beide getal gelijk aan nul.
Als ze allebei nul zijn, zijn de twee zijden niet gedefinieerd. (Je kunt dat een oplossing noemen als je wilt – dat doe ik niet.)
Als de ene nul is en de andere positief, dan is de ene kant nul en de andere kant.
Als de ene nul is en de andere negatief, dan is de ene zijde de ene en de andere niet gedefinieerd.
Nu we alleen positieve gehele getallen beschouwen, is het duidelijk dat a = b werkt.
Neem voor andere oplossingen de natuurlijke log van beide zijden (geen probleem, aangezien beide zijden positief zijn), en we krijgen
b ln (a) == a ln (b)
Deel beide zijden door a en ln (a) (geen probleem, we beschouwen alleen positieve gehele getallen op dit moment), we krijgen
(b / a) == ln (b) / ln ( a) == ln (a * (b / a)) / ln (a) == [ln (a) + ln (b / a)] / ln (a) == 1 + ln (b / a) / ln (a)
Herschikken naar
(b / a) -1 == ln (b / a) / ln (a)
Beide zijden vermenigvuldigen door ln (a) en deel beide zijden door (b / a) -1 om
ln (a) == ln (b / a) [(b / a) -1]
Merk op dat dit deling door nul is als a = b, maar dat hebben we al overwogen. Dit geldt dus alleen voor a> 0, b> 0, en a b. Geef nu b / aa naam, noem het x = b / a.
Dus we hebben
ln (a) == ln (x) / (x-1)
Merk op dat de linkerkant altijd positief is, tenzij a == 1, in welk geval we x == 1 nodig hebben (de rechterkant kan worden gedefinieerd door continuïteit om x = 1 te dekken, en is gelijk aan 1 op dit punt). Maar als x == 1, dan is a = b, dus de afleiding van deze vergelijking was ongeldig, en we beschouwden a = b toch al.
Dus de linkerkant is positief voor a> 1, maar dat is oké, want de rechterkant is altijd positief voor positieve x.Maar we kunnen de gevallen van ln (a) 1 afzonderlijk bekijken. (ln (a) = 1 komt niet voor voor gehele waarden van a.)
Voor ln (a) hebben we
ln (x) / (x-1 ) .
Als x> 1, dan zijn teller en noemer positief, zodat
ln (x) -1, wat altijd het geval is. Maar als x , dan zijn teller en noemer negatief, zodat
ln (x)> x-1
Dit is nooit het geval voor de logaritmefunctie. Dus als ln (a) 1 nodig. (Het is niet nodig om x = 1 te overwegen, aangezien we a = b al hebben behandeld.)
Wat als ln (a)> 1? Dan
ln (x) / (x-1)> 1
Als x> 1, dan zijn teller en noemer positief, zodat
ln ( x)> x-1
Dit is nooit het geval. Als x , dan zijn teller en noemer negatief, zodat
ln (x) -1
Dit is altijd het geval. Dus als ln (a)> 1, hebben we x nodig.
Dus voor positieve gehele getallen met een b, moeten we twee gevallen overwegen. De ene is
ln (a) 1
en de andere is
ln (a)> 1 en x
Laten we hier eens over nadenken. Er is slechts één a> 1 (we hebben al overwogen a = 1) zodat ln (a) , en dat is a = 2. Dan wordt de bijbehorende x gegeven door
ln (2) == ln (x) / (x-1)
Een weloverwogen gok (en een van de andere antwoorden heeft dit al oplossing) is x = 2. Maar x = b / a, en a = 2, dus als x = 2, dan is a = 4. Merk op dat er geen oplossing kan zijn voor een andere waarde van x, aangezien ln (x) / (x-1) een strikt afnemende functie is voor x> 0.
Het andere geval is ln (a) > 1, maar in dit geval hebben we x . Dat betekent b / a , of b
Dus als er een positieve gehele oplossing is, zijn de twee waarden a en b hetzelfde, of een van hen is 2 en de andere is 4.
Er zijn geen oplossingen waarbij a = 0 of b = 0 betrokken is, tenzij je a = b = 0 een oplossing wilt noemen, omdat undefined gelijk is aan undefined, maar Ik wil niet dat mijn wiskunde-licentie wordt afgenomen.
Kunnen we negatieve oplossingen hebben. Stel dat a 0 (we weten dat we geen b = 0 kunnen hebben), dan is a ^ b een geheel getal, maar b ^ a is alleen een geheel getal als a = -1. Maar dan is a ^ b -1 als b oneven is, en +1 als b even is. b ^ a is positief, dus we kunnen geen a = -1 en oneven b hebben. Maar als b even is, dan is a ^ b 1, en b ^ a is niet gelijk aan één. We kunnen dus geen 0 hebben. Om dezelfde reden kunnen we geen a> 0 en b hebben.
Kunnen we a en b hebben? In dat geval is a ^ b positief als b even is, en negatief als b oneven is. Evenzo is b ^ a positief als a even is, en negatief als a oneven is. Dus om de twee gelijk te laten zijn, moeten a en b oneven zijn, of moeten a en b beide even zijn.
Stel dat ze oneven zijn. Dan beginnen we met
a ^ b == b ^ a
We vermenigvuldigen beide zijden met een negatieve, en herschikken een beetje, zodat we
(-a) ^ b == (-b) ^ a
Als we de wederkerigheid van beide kanten nemen, hebben we
(-a) ^ (- b) == (-b) ^ (- a)
Maar als a en b 0 en -b> 0, en we hebben al vastgesteld dat de enige positieve oplossingen voor -a en -b met beide oneven zijn wanneer -a = -b, of a = b. Dus als a en b elk hetzelfde negatieve oneven gehele getal zijn, geldt de gelijkheid. Als een van beide een negatief oneven geheel getal is, maar a b, dan is het geen oplossing.
Wat als a en b negatieve even gehele getallen zijn? Dan krijgen we
(-a) ^ b == (-b) ^ a
zonder beide zijden met -1 te vermenigvuldigen. Als we de wederkerigheid van beide kanten nemen, hebben we
(-a) ^ (- b) == (-b) ^ (- a)
We kennen de oplossingen al waarbij -a > 0 en -b> 0 en beide zijn zelfs positieve gehele getallen; ofwel -a = -b, of -a = 2 en -b = 4, of -a = 4 en -b = 2.
Dit omvat alle gevallen. Dus de volledige lijst met integeroplossingen is
a en b zijn hetzelfde positieve of negatieve gehele getal (maar niet nul)
a = 2 en b = 4
a = 4 en b = 2
a = -2 en b = -4
a = -4 en b = -2