Beste antwoord
De meeste reeksen die je tegenkomt, worden gegeven door een formule voor de n- de term: a\_n = f (n) waarbij f een functie is die is opgebouwd uit rekenkundige bewerkingen, machten, wortels, machtsverheffen, logboeken en soms andere functies. De vraag is wat er gebeurt als n de oneindigheid nadert. Is \ lim\_ {n \ tot \ oneindig} f (n) een eindig getal, dat wil zeggen, convergeert de reeks, of gebeurt er iets anders? Divergeert het naar \ infty of naar – \ infty, oscilleert het tussen twee verschillende getallen, of breekt alle chaos los?
Als je “niet geïnteresseerd bent in zekerheid, maar tevreden bent met een antwoord dat” s zal in de meeste situaties juist zijn, je kunt gewoon a\_ {1000} berekenen of ergens anders ver weg in de reeks. Voor de meeste reeksen die u tegenkomt, zou dat uw vraag moeten beantwoorden.
Maar dat is niet uw vraag. U wilt echt weten of de reeks convergeert of niet. U wilt zekerheid, en indien mogelijk wilt u om te weten naar welk nummer het convergeert. Helaas zijn de vormen die reeksen kunnen aannemen onbeperkt. Het beste wat je kunt doen is een aantal principes hanteren die voor de meeste gevallen zorgen. Hier zijn een paar principes.
- Rationale functies , dat wil zeggen quotiënten van veeltermen, zoals a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Je kunt zien wat er gaat gebeuren als je de teller en de noemer deelt door de hoogste macht van n die aanwezig is. Je kunt het allemaal samenvatten in een stelling: als de graad van de teller hetzelfde is als de graad van de noemer, dan convergeert de reeks naar de verhouding van de leidende coëfficiënten (4/3 in het voorbeeld); als de noemer een hogere graad heeft, convergeert de reeks naar 0; als de teller een hoogte heeft r graad, dan divergeert de reeks naar \ infty als de leidende coëfficiënten hetzelfde teken hebben, of naar – \ infty als ze verschillende tekens hebben.
- Quotiënten van algebraïsche functies waarbij wortels betrokken zijn, zoals a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Deel de teller en de noemer door een fractionele macht van n. In dit voorbeeld is \ sqrt n voldoende.
- Composities , bijvoorbeeld a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. De uiterlijke functie, sinus, is een continue functie, en continue functies behouden grenzen. In dit geval hebben we \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, dus de oorspronkelijke reeks benadert \ sin0 = 0. Maar overweeg a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}. Hier hebben we \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty, en \ sin x oscilleert tussen –1 en 1 als x \ to \ infty, dus deze reeks heeft geen limiet.
- Relatieve groeipercentages . Vaak heb je a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)} waarbij f (n) \ to \ infty en g (n) \ to \ infty. Wat er met het quotiënt gebeurt, hangt ervan af of de teller of noemer groeit sneller. Ik gebruik het symbool \ prec om aan te geven dat de ene veel langzamer groeit dan de andere, dat wil zeggen, f \ prec g betekent \ lim\_ {n \ tot \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Het is handig om er een paar te kennen, en dat doet u ook. Bijvoorbeeld: n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Dat zijn allemaal voorbeelden van polynomen, maar u zou een paar andere functies moeten kennen \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L “Hôpital” s regel . Hoewel reeksen discreet zijn, als de continue limiet convergeert of als deze divergeert naar plus of min oneindig, dan is dat zo doet de discrete limiet. Dus als je bijvoorbeeld “a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} hebt en je hebt de hierboven genoemde orders niet gebruikt, kun je L” Hôpital “gebruiken s regel. Aangezien in de limiet, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, de teller en de noemer beide oneindig naderen, zal die limiet hetzelfde zijn als de limiet waar je de teller en de noemer vervangt door hun afgeleiden, \ lim\_ {x \ tot \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, en als het nog steeds niet duidelijk is wat er gebeurt, aangezien dit ook van de vorm \ infty / \ infty, kunt u de regel van L “Hôpital” gebruiken ain.
- De speciale limiet voor e ^ x. Soms wordt dit gebruikt als de definitie van de exponentiële functie. Het is de moeite waard om te weten en het komt regelmatig voor in bruikbare reeksen. (1 + x / n) ^ n \ tot e ^ x
Ik weet zeker dat er meer technieken zijn. Vergeet niet om het gebruik van algebra gaandeweg te vereenvoudigen.
Antwoord
Er zijn maar weinig tests voor het testen van de convergentie van reeksen.
1. Gegeven een reeks a\_n en als we een functie f (x) hebben zodat f (n) = a\_n en \ lim\_ {n \ tot \ infty} f (x) = L dan \ lim\_ {n \ tot \ infty} a\_n = L
2. Als \ lim\_ {n \ tot \ infty} | a\_n | = 0 dan \ lim\_ {n \ tot \ infty} a\_n = 0
3. De reeks {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty convergeert if -1 \ ler \ le1.
4. Voor een reeks \ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, dan is a\_n convergent met limiet L.