Beste antwoord
Zal uitleggen met behulp van een voorbeeld. Figuur toont een truss geladen en ondersteund zoals getoond. Onze interesse is om de reacties en de krachten in alle leden van een truss te achterhalen. De reacties en de krachten in staven zijn niet alleen afhankelijk van de grootte en richting van de uitgeoefende krachten, maar ook van hun locatie, d.w.z. de toepassingspunten. Het ruimtediagram zorgt voor het punt waarop de krachten worden uitgeoefend en de geometrie van de truss.
De hierboven getoonde figuur is alleen om de reacties te krijgen. Toegepaste kracht P\_1 is ab en kracht P\_2 is bc in het vectordiagram. Reactie R\_1 is gelijk aan da en Reactie R\_2 is gelijk aan cd in het vectordiagram.
We kunnen verder gaan met het ruimtediagram en het vectordiagram om krachten in alle staven te berekenen. Dit wordt hier niet gedaan om de figuur heel eenvoudig te begrijpen.
Aan de evenwichtsvoorwaarde wordt voldaan wanneer het vectordiagram en de polygoon van de kabelspoorweg sluiten.
Antwoord
is niet helemaal duidelijk wat posities hier betekent, maar ik denk dat een antwoord zou kunnen zijn dat vectoren geen posities hebben, maar vectorruimten wel posities, en deze twee ideeën hebben betrekking op de toepassingen.
I Ik neem hier aan dat het ontbreken van “positionaliteit” in de vraag verwijst naar het feit dat parallelle “pijlen” van dezelfde lengte en oriëntatie dezelfde vector vertegenwoordigen. Er zijn tal van redenen om deze conventie te introduceren.
- Een van de fundamentele ideeën die ten grondslag liggen aan het basisgebruik van vectoren is het concept van een verplaatsing , die ook de bron is van snelheid, versnelling en (via F = ma) kracht. Verplaatsingen hebben geen positie, er is eerder een potentiële verplaatsing van een bepaalde richting en grootte op elke positie. Als we zeggen ga tien mijl noordwest, is dat een verplaatsingsinstructie die overal van toepassing is en niet alleen op een bepaalde locatie.
- Verplaatsingen kunnen worden gecombineerd, maar alleen als de tweede verplaatsing begint waar de eerste eindigt . Als de verplaatsingen worden weergegeven door pijlen, dan moet, om de gecombineerde verplaatsing te krijgen, een van de pijlen worden vertaald om een staart-tegen-kop-configuratie voor de gecombineerde verplaatsing te krijgen. Dit zou natuurlijk niet logisch zijn als de vertaalde pijl niet dezelfde verplaatsing zou blijven vertegenwoordigen.
- Ervaring met het gedrag van krachten vereist het vermogen om krachtpijlen rond te vertalen, aangezien in termen van krachten gedragen objecten zich alsof al hun massa geconcentreerd is in hun zwaartepunt en alle krachten op dat punt inwerken. (Ik ben hier voorzichtig geweest met mijn cursief gedrukte taal, omdat er iets anders gebeurt wanneer koppels worden geïntroduceerd!)
De wiskundige abstractie die al deze situaties omvat, is de vectorruimte. Als we pijlen nodig hebben die overal kunnen worden geplaatst, leggen we een equivalentierelatie op aan de set pijlen, waardoor twee pijlen equivalent zijn als ze parallel zijn en dezelfde richting hebben. (“Same direction” heeft intuïtieve inhoud die een beetje lastig is om systematisch te maken.) Een vector wordt dan een equivalentieklasse van pijlen, en vectoroptelling wordt gedefinieerd door “gemakkelijke” klassenvertegenwoordigers te nemen en ze toe te voegen via de wet van staart naar kop of parallellogram.
Het gebruik van equivalentieklassen en hun vertegenwoordigers zouden helemaal niet vreemd moeten lijken; het is precies wat we doen met breuken. Een “breuk” kan worden beschouwd als een equivalentieklasse van symbolen a / b (b \ ne 0) onder de equivalentierelatie a / b \ equiv (na) / (nb). Als we twee “breuken” willen optellen, rooten we over hun respectievelijke equivalentieklassen totdat we twee vertegenwoordigers met dezelfde noemer vinden, en voegen dan de tellers toe. Vectoroptelling is hier erg analoog aan. Bovendien is er bij breuken een “geprefereerde” set van klassenvertegenwoordigers, de breuken “in de laagste termen”. Voor vectoren is er ook een “geprefereerde” klasse van vertegenwoordigers, de vectoren waarvan de staart aan de oorsprong ligt, en dit zijn wat wordt beschouwd als de abstracte elementen van een vectorruimte wanneer de pijlanalogie in het spel is.
Er zijn situaties waarin het er echt toe doet waar de pijl zich bevindt, het verplaatsen van de pijl geen zin heeft en pijlen op verschillende punten niet kunnen en mogen worden toegevoegd. Een weerkaart met pijlen die windsnelheden op verschillende locaties weergeven, is zon voorbeeld. De eerder genoemde koppels zijn ook een voorbeeld; de locatie van een kracht ten opzichte van het zwaartepunt is van belang, en de krachtpijl kan niet naar een ander punt worden vertaald zonder het resulterende koppel te veranderen. (Merk overigens op dat de koppels zelf vectoren zijn die kunnen worden opgeteld.) Voor een algemeen wiskundig voorbeeld: het verloopveld van een scalair veld bestaat uit pijlen die op bepaalde locaties zijn vastgemaakt en die niet willekeurig kunnen worden vertaald.
Een elementaire observatie over deze positieafhankelijke vectoren is dat de gebruikelijke vector ruimtewetten (optellen en scalaire vermenigvuldiging) blijven gelden voor alle vectoren op een vaste positie . Dit vertelt ons dat de “oplossing” voor het positieafhankelijke raadsel is om een volledige vectorruimte op elk punt in de betreffende ruimte te plaatsen. De resulterende spaties zijn wordt meestal tangensruimten genoemd, aangezien de tangensruimte op een punt kan worden beschouwd als de verzameling van alle snelheidsvectoren voor geparametriseerde paden door dat punt (ervan uitgaande dat er voldoende differentiabiliteit is voor de beschrijving zinvol).
De verzameling van alle raakspaties wordt de tangens bundle, en als je nu een positieafhankelijke vector nodig hebt op elk punt van je ruimte, heb je een kaart nodig van de ruimte naar de raakbundel die precies één vector in elke raaklijnruimte opneemt verschillende punten; een dergelijke kaart wordt een sectie van de bundel genoemd, en de resulterende verzameling positieafhankelijke vectoren wordt een vectorveld op de originele ruimte.
Op deze manier krijgen we onze cake en eten we die ook; vectoren hebben geen “posities” maar vectorruimten wel.