Beste antwoord
Een contravariante tensor van rang 2 is symmetrisch als hij invariant is onder permutatie van zijn indices. De componenten ervan veranderen niet bij het uitwisselen van de indices en voldoen aan het volgende:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
Evenzo is een covariante tensor van rang 2 symmetrisch als het invariant is onder permutatie van zijn indices, en zijn componenten voldoen aan het volgende:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Tensoren van rang 2 kunnen gewoonlijk worden weergegeven door matrices , dus de symmetrie van een tensor is in wezen gerelateerd aan de symmetrie van de matrix die deze vertegenwoordigt. Het is bekend dat als de ingangen van een symmetrische (vierkante) matrix worden uitgedrukt als A = (a\_ {pq}), dan a\_ {pq} = a\_ {qp} voor alle indices p en q. De symmetrische matrix is gelijk aan zijn transpositie ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Voorbeelden van tweederangs symmetrische tensoren zijn de metrische tensor g \_ {\ mu \ nu} of de Cauchy-spanningstensor ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}) die in matrixvorm kan worden geschreven als:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Als we bijvoorbeeld een hogere tensor van de vorm hebben
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
de tensor is symmetrisch in m en p.
Een tensor die symmetrisch is ten opzichte van twee contravariante en twee covariante indices zouden symmetrisch zijn.
Een tensor wordt scheef-symmetrisch of asymmetrisch genoemd als
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
In het algemeen is een symmetrische tensor is een tensor die invariant is onder een permutatie van zijn vectorargumenten:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
voor elke permutatie σ van de symbolen {1, 2, …, r }. Als alternatief kan een symmetrische tensor van orde of rang r worden weergegeven in coördinaten als een hoeveelheid met r index voldoet aan
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Antwoord
Matrices zijn rechthoekige arrays van elementen uit een bepaald veld (meestal \ mathbb {R} of \ mathbb {C}, maar niet altijd) die een bewerking van vermenigvuldiging met een andere matrix en vermenigvuldiging met een gedefinieerd veldelement.
Matrices worden gebruikt om een groot aantal verschillende dingen weer te geven:
- coëfficiënten van lineaire vergelijkingen
- lineaire transformaties (gegeven een bepaalde geordende set basisvectoren)
- verandering van de basis van vectorruimten (gegeven twee geordende sets basisvectoren)
- tensoren (specifiek volgorde 2 tensoren)
- bepaalde groepen
- etc.
Sommige van deze toepassingen kunnen in de war raken: gegeven een niet-singuliere vierkante matrix zonder context, het is onmogelijk om te zeggen of het een lineaire transformatie voorstelt (of op welke basis het is), een verandering van basis of een tensor.
Kortom, matrices zijn erg algemeen.
Tensoren zijn multilineaire functionalen op vectoren en functionalen (dubbele vectoren). Met andere woorden, een orde n + m tensor is een functie op n vectoren en m duale vectoren die een reëel of complex getal retourneert, en lineair is voor al zijn argumenten.
Tensoren op eindig-dimensionale vectorruimten kan worden weergegeven door een n + m-dimensionale array van elementen uit het veld van de vectorruimte, en voor orde 2 tensoren wordt dit vaak weergegeven als een matrix. Net als de matrixweergave van lineaire transformaties, is de multidimensionale matrixweergave van een tensor afhankelijk van de gebruikte basis.
Tensoren worden vaak beschreven, gebruikt en soms zelfs gedefinieerd in termen van multidimensionale arrays van veldelementen, onder voorbehoud van de beperking van hoe de tensor transformeert met betrekking tot differentiële veranderingen in de basisvectoren. Maar in hun hart zijn het multilineaire functionalen op vectoren en lineaire functionalen.