Beste antwoord
Zoals velen al correct hebben beantwoord, heeft de cosinus van oneindigheid geen waarde. Maar het is erger. Het is zo erg als het maar kan zijn.
Complexe functies
De trigonometrische functies, inclusief cosinus, zijn meestal worden beschouwd als functies die reële getallen als argumenten aannemen, maar ze kunnen worden uitgebreid tot complexe functies. U kunt dit voor cosinus doen door deze machtreeksdefinitie te gebruiken
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Dat maakt cosinus gedefinieerd op het gehele complexe vlak \ mathbf C.
Door Door functies uit te breiden tot complexe argumenten, kunt u ze begrijpen op manieren die u niet kunt wanneer alleen echte argumenten worden gebruikt. Dat is de kracht van complexe analyse.
De uitgebreide complexe getallen \ overline {\ mathbf C}
Beschouw de veel eenvoudigere functie f (z) = 1 / z. Het is gedefinieerd voor alle complexe getallen behalve z = 0. Het lijkt een oneindige waarde te hebben bij z = 0, en er is een manier om dat concept te formaliseren. Verleng de complexe getallen met één element, aangegeven met \ infty, om te krijgen wat soms het gesloten complexe vlak of de Riemann-sfeer wordt genoemd, \ overline {\ mathbf C}. Daarmee kun je 1/0 = \ infty en 1 / \ infty = 0 definiëren zodat deze functie f (z) = 1 / z wordt gedefinieerd op alle \ overline {\ mathbf C}. In feite geeft het een bijectie \ overline {\ mathbf C} \ naar \ overline {\ mathbf C}.
Wat gebeurt er als je dit probeert met de tangensfunctie \ tan z? Er gebeuren leuke dingen. Terwijl voor reële getallen \ tan \ pi / 2 niet is gedefinieerd, is het voor \ overline {\ mathbf C} wel gedefinieerd, en in feite is \ tan \ pi / 2 = \ infty. De singulariteit voor \ tan z op z = \ pi / 2 is als de singulariteit voor 1 / z op z = 0.
Deze twee functies, 1 / z en \ tan z, hebben polen , dat wil zeggen, ze krijgen de waarde \ infty. De functie 1 / z heeft één pool bij z = 0. De functie \ tan z heeft oneindig veel polen, één voor elke waarde van z gelijk aan \ pi / 2 plus een integraal veelvoud van \ pi.
Cosinus van \ infty
Het is tijd om terug te gaan naar \ cos \ infty.
Beschouw de functie f (z) = \ cos (1 / z). Vragen naar de cosinus van \ infty is hetzelfde als vragen naar f (0), aangezien in \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. In tegenstelling tot de polen voor de functies 1 / z en \ tan z die hierboven zijn genoemd, heeft deze functie wat een essentiële singulariteit wordt genoemd. Willekeurig nabij z = 0, de functie f (z) = \ cos (1 / z) neemt alle complexe getallen oneindig vaak aan. Dat betekent dat \ cos z een essentiële singulariteit heeft op z = \ infty. Het is zo erg als het maar kan zijn.
Antwoord
Het is nergens gelijk aan. Cos (oneindig) is onbepaald omdat sinus cosinus en tangens, evenals inverse (secans, cosecans en cotangens), zijn afgeleid van de eenheidscirkel.
cosinus is de x-as en sinus is de y-as. Hierdoor ontstaat een rechthoekige driehoek. De eenheidscirkel is gecentreerd bij de oorsprong. En die rechthoekige driehoek die is “gemaakt”, de lengte van de benen is waar ze worden afgeleid.
Voor zaken als 390 graden beweegt het zich meer dan eens rond, en wordt de hoek geëvalueerd alsof het alleen ging van 0 graden naar waar het eindigde, wat minder is dan 360. Dit is eigenlijk gewoon modulus.
De uitdrukking die dit kan vertegenwoordigen is n mod 360 (of voor informatica, n\% 360), waarbij n is de hoek.
Dus voor oneindig mod 360, kan geen antwoord hebben omdat oneindigheid constant stijgt. dus het kan technisch gezien van alles zijn. Oneindigheid is geen nummer, het is een concept. Het concept van geen einde hebben. Dus het gebruik van oneindigheid als getal heeft gewoon een waarde die in zekere zin altijd toeneemt. Dit vereenvoudigt het een beetje, omdat het niet echt stijgt, het is meer alsof je aanneemt dat er een einde is, terwijl dat niet het geval is, de lijst met getallen heeft geen einde. Zijn waarde is grenzeloos. Daarom gebruiken we limieten bij het omgaan met oneindigheid. Hoewel oneindigheid als getal in feite limieten gebruikt, kunnen we niet zeggen dat 1 / oneindig nul is, aangezien oneindigheid alleen maar constant in waarde toeneemt, het vraagt niet waar het naar convergeert. Hoewel het naar nul convergeert, zal het nooit nul zijn. Het dichtst bij nul zal zijn, 1 – 0.999…., Wat, hoewel 0.999… is gezegd dat het gelijk is aan 1, het niet is. Logischerwijs is het dat niet en kan het ook niet zijn. Als we dat accepteren, dan kunnen we net zo goed zeggen dat 1 = 2, en elke n is gelijk aan een m (n = m).
Terug naar de oorspronkelijke vraag, als je naar een grafiek voor cos kijkt (x), je zult zien dat het continu op en neer oscilleert, gaande van 1 tot -1. Dus als het naar oneindig gaat, zal het nooit convergeren, en cos (oneindig) zal altijd schakelen tussen 1 en -1. Het kiezen van een waarde ertussen zal niet oneindig zijn, aangezien het altijd in waarde toeneemt.
Dus, tot slot, cos (oneindig) is onbepaald.