Beste antwoord
De “substantiële” afgeleide, ook wel “totale” afgeleide genoemd of “convectieve” afgeleide, is niet echt een andere afgeleide , het is eerder een afgeleide van een andere functie .
Laat \ lambda (x, t) een gegeven functie zijn van ruimte en tijd. Differentiatie van \ lambda met betrekking tot tijd, waarbij de ruimtevariabele vastgehouden wordt, levert de gebruikelijke partiële tijdsafgeleide op. Beschouw nu een “samengestelde functie” g (t) = \ lambda (X (t), t), dat wil zeggen, we evalueren \ lambda langs krommen X (t) in de ruimte die wordt getraceerd door een scalaire variabele t. De afgeleide van g is de substantiële (totale, convectieve) afgeleide van \ lambda. De substantiële afgeleide is dus de afgeleide van de samenstelling van de functies \ lambda en X.
Antwoord
In Andersons 6e editie van Fundamentals of Aerodynamics legt hij de totale afgeleide uit met een fysiek voorbeeld. De totale afgeleide heeft een convectieve term (met de nabula-punt V) en een tijdterm (met het gedeeltelijke respect voor t). Dit is het fysieke voorbeeld.
Je bent op een wandeling en struikelen over een grot. Je besluit de grot binnen te gaan, maar net als je de koele grot binnengaat, nagelt je vriend je in het gezicht met een sneeuwbal. Je voelt dus twee bronnen van kou. De eerste is vanaf je veranderende locatie – de grot binnengaan. De tweede is dat je vriend je op dat moment met de sneeuwbal slaat.
Dus de temperatuur is de variabele waarvan we de totale afgeleide nemen, en de grot levert de convectieterm, en de sneeuwbal vormt de tijd term.
Het wordt vaak gebruikt in de aerodynamica, omdat we een vloeibaar element beschouwen dat in een stroom beweegt (denk maar aan een klein volume dat je volgt). De substantiële afgeleide vertelt ons over dit bewegende element. Als het niet bewoog, zou je de substantiële afgeleide kunnen vervangen door alleen het partiële met betrekking tot de tijd. Maar omdat het deeltje beweegt, verklaart de convectieve term dat de eigenschap tussen locaties verandert.