Beste antwoord
Bij elektromagnetische straling (radiometrie) is het een concentratie of een functie van de golflengte van een verlichting (radiometrische uitgang).
Stralingsintensiteit en lichtstroom of de waargenomen kracht van licht zijn voorbeelden van spectrale distributie.
De spectrale vermogensverdeling over het zichtbare spectrum van een bron kan verschillende concentraties relatieve SPDs hebben. De relatieve spectrale vermogensverdeling van de zon produceert bijvoorbeeld een wit uiterlijk als deze rechtstreeks wordt waargenomen, maar wanneer het zonlicht de atmosfeer van de aarde verlicht, lijkt de lucht blauw onder normale daglichtomstandigheden.
De SPD kan ook gebruikt om de respons van een sensor bij een bepaalde golflengte te bepalen.
Ik hoop dat je dit antwoord leuk vond! Stem alsjeblieft op en volg mij 🙂
Antwoord
Misschien is nuttig om eerst de volgende bedrieglijk elementaire vraag te overwegen:
Vraag: Wat is een kwalitatieve, niet-algebraïsche eigenschap van diagonaliseerbare matrices die ze onderscheiden van niet-diagonaliseerbare matrices? (Vergeet voorlopig of de diagonalisatie door een unitair wordt gedaan.)
Eén antwoord op deze afgezwakte vraag begint met te observeren dat diagonale matrices de volgende
Polynoomeigenschap van diagonaliseerbare matrices hebben: Als A een diagonaliseerbare matrix is en P een echt polynoom, dan hangt P (A) alleen af van de waarden P (lamda) van P bij de eigenwaarden lamda van A.
Hier gebruiken we
Definitie van het toepassen van een polynoom op een matrix: Als P (x) een polynoom is
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2 + .. . Cn X ^ n
en A is een matrix, dan definiëren we
P (A) = C0 I + C1 A + C2 A ^ 2 + …
waar ik de identiteitsmatrix is en waar de exponenten worden gevormd met behulp van matrixvermenigvuldiging.
Je kunt deze veeltermeigenschap van diagonaliseerbare matrices hierboven bewijzen door A diagonaliseren en te kijken wat er gebeurt als je neemt een polynoom van een diagonale matrix.
Voor een diagonaliseerbare matrix kan men het idee van het toepassen van functies op matrices uitbreiden van polynomen naar willekeurige fu ncties die de volgende gebruiken
Definitie (functionele calculus voor diagonaliseerbare matrices, onelegante vorm): Laat A een diagonaliseerbare matrix zijn, en laat f zijn een reële of complexe functie van de eigenwaarden van A. Dan is f (A) de matrix
f (A) = M f (D) M ^ -1,
waarbij
A = MDM ^ -1
een diagonalisatie is van A, met D diagonaal en M inverteerbaar, en waar f (D) wordt gevormd door elke diagonale invoerlamda van D door f (lamda).
Voorbeeld: Laat f (x) = x ^ (1/3) de kubuswortel zijn functie, en laat A een diagonaliseerbare matrix zijn. Dan is C = f (A) in feite een kubuswortel van A: C ^ 3 = A.
Voorbeeld: Als A is niet singulier en diagonaliseerbaar en f (x) = 1 / x, dan is f (A) de inverse matrix van A.
Voorbeeld: Als A diagonaliseerbaar is en f (x) = exp (x), dan is f (A) de exponentiële matrix van A, gegeven door de gebruikelijke Taylorreeks:
exp (A) = I + A + A ^ 2/2 + A ^ 3/3! + …..
Om te zien dat deze definitie van f (A) goed gedefinieerd is (dwz onafhankelijk van de diagonalisatie) en om te zien hoe verder te gaan in het niet-diagonaliseerbare geval, is het nuttig om f (A) voor diagonaal A opnieuw te definiëren in de volgende vorm:
Alternatieve definitie (functionele calculus voor diagonaliseerbare matrices, betere vorm): Laat A een diagonale matrix zijn, en laat f een reële of complexe waarde zijn van de eigenwaarden van A. Dan is f (A) = P (A), waarbij P een polynoom is dat zo is gekozen dat f (lamda) = P (lamda) voor elke eigenwaarde lamda van A.
In het bijzonder is het niet nodig om een matrix daadwerkelijk te diagonaliseren om een functie f (A) van de matrix te berekenen: Interpolatie van f bij de eigenwaarden van A geeft een polynoom voldoende om f (A) te berekenen.
Wat gebeurt er als A niet diagonaliseerbaar is? Als we over de complexe getallen werken, zegt de Jordan normaalvorm dat door een geschikte basis te kiezen, een dergelijke matrix kan worden geschreven als een blokdiagonale matrix, een directe som van Jordan Blocks Jn like
J2 = a 1 0 a.
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
waar Jn een ann-matrix is met een complex getal a op de diagonaal en een keten van 1 “s boven de diagonaal. Merk op dat in elk geval Mn de enkele eigenwaarde a van veelvoud heeft n.
Geen van deze Jordan-blokken is diagonaliseerbaar, aangezien de volgende stelling zegt dat Jordan-blokken de polynoomeigenschap voor diagonale matrices niet delen:
Stelling: (De actie van polynomen op Jordan-blokken) Laat P een polynoom, en laat Jn een nxn Jordan-blok zijn, van de bovenstaande vorm. Dan hangt P (J) alleen af van P (a) en van zijn eerste n afgeleiden bij a. IE
P (J2) = P (a) P “(a) 0 P (a)
P (J3) = P (a) P “(a) P” “(a) / 2 0 P (a) P” (a) 0 0 P (a)
P (J4) = P (a) P “(a) P” “(a) / 2! P” “(a) / 3! 0 P (a) P “(a) P” “(a) / 2! 0 0 P (a ) P “(a) 0 0 0 P (a)
enzovoort.
Men kan de stelling hierboven verifiëren door het te controleren op monomen en vervolgens uit te breiden tot polynomen, die slechts lineaire combinaties van monomen zijn.
Om te zien hoe dit zich verhoudt tot het berekenen van functies van matrices, overweeg dan het volgende probleem, dat de kubuswortelfunctie toepast op matrices:
Probleem (kubuswortels van matrices): Laat A een niet-singuliere mxm reële of complexe matrix zijn. Vind een kubuswortel C = A ^ (1/3) van A, dat is een matrix C zodat A = C ^ 3.
We geven twee oplossingen: De eerste betreft het expliciet berekenen van de Jordan-vorm van de matrix A, en de tweede gebruikt alleen het bestaan van het Jordan-formulier, zonder expliciete berekening.
Oplossing 1: Door het Jordan-formulier kunnen we de matrix A ontleden in Jordan-blokken Jn door een basiskeuze, dus we beperken de overweging tot het geval dat A = Jn voor een bepaalde n. Bijvoorbeeld, voor een complex getal a,
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
Nu is het niet moeilijk om aan te tonen dat er een polynoom is
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2
zodanig dat bij de eigenwaarde a van J3 men
P (a) = a ^ (1/3) P “(a) = 1/3 (a ^ (1/3)) ^ (-2) P” “(a) = -2/9 (a ^ (1/3)) ^ ( -5)
(Aangezien we aannemen dat geen eigenwaarde 0 is, is niets oneindig.)
(IE P is de functie x -> x ^ 1/3 tot aan de seconde afgeleide op het punt x = a. Er is enige dubbelzinnigheid in de definitie van a ^ 1/3 in het complexe geval, dus ik heb een ^ (- 2/3) = (a ^ (1/3)) ^ ( -2) om hiervoor te zorgen, wat betekent dat dezelfde kubuswortel wordt gebruikt in alle drie de formule.) In feite
P (X) = (5 a ^ (1/3) + 5 a ^ (-2/3) x – a ^ (- 5/3) x ^ 2) / 9,
hoewel we P eigenlijk niet hoefden te berekenen, aangezien uit de algemene formule voor P (J3) in de stelling hierboven,
P (J3) = a ^ 1/3 1/3 a ^ (- 2/3) -2/9 a ^ (- 5/3) 0 a ^ (1 / 3) 1/3 a ^ (- 2/3) 0 0 a ^ (1/3)
Dit is gewoon onze gewenste kubuswortel van J3!
C = P (J3).
Om deze opmerking te bekijken:
C ^ 3 = (P (J3)) ^ 3 = (P ^ 3) (J3) = R (J3),
waar R (x) het polynoom is dat voldoet
R (x) = (P (x)) ^ 3.
De belangrijke eigenschap van R is dat het punt x = a, de polynoom R = P ^ 3 komt overeen met de identiteitsfunctie x -> x tot afgeleiden van orde 2
R (a) = a R “(a) = 1 R” “(a) = 0,
zodat volgens de algemene formule voor een polynoom toegepast op een Jordan-blok,
C ^ 3 = R (J3) = R (a) R “(a) R “” (a) / 2 = a 1 0 = J3, 0 R (a) R “(a) = 0 a 1 0 0 R (a) = 0 0 a
zoals gewenst.
Oplossing 2: Als A een mxm-matrix is, zoek dan een polynoom P (x) zodat bij elke eigenwaarde x = a van A het polynoom en zijn afgeleiden van orde tot m-1 komen overeen met de gewenste functie x -> x ^ 1/3. Dan is C = P (A) de gewenste kubuswortel van A.
Merk op dat oplossing 2 werkt omdat alle Jordan-blokken van A kleiner zijn dan n, en bij oplossing 1 de polynoom P zal elk Jordan blok vervangen door zijn kubuswortel. Omdat we niet de moeite hebben genomen om de Jordan-vorm van A expliciet te berekenen, kan de polynoom P die we hebben gebruikt van een onnodig hoge graad zijn, omdat we de lengte van de Jordan-ketens niet kenden. Polynoominterpolatie was echter waarschijnlijk niet zo veel werk als het berekenen van de Jordan-vorm. (Bovendien hebben we op deze manier alle numerieke instabiliteiten vermeden die verband houden met de Jordan-vorm en ontaarde eigenwaarden.)
Het voorbeeld van de kubus wortel nodigt uit tot de volgende definitie:
Definitie (variant van de Dunford-calculus in het eindig-dimensionale geval) : Laat A een zelf zijn adjoint matrix. Laat f een reële of complexe functie zijn waarvan het domein de eigenwaarden van A bevat. Dan
f (A) = P (A),
waar P (x) is een polynoom zodanig dat voor elke eigenwaarde x = a
P (a) = f (a) P “(a) = f” (a) P “” (a) = f “” (a ) …………
waarbij het aantal overeenkomende afgeleiden ten minste de grootte is van de grootste keten van 1 “s in het Jordan-blok dat overeenkomt met de eigenwaarde a.
Men kan verifiëren dat het resultaat van het toepassen van de functie x-> 1 / x op een matrix A in feite de gebruikelijke inverse matrix van A is. Men kan ook verifiëren dat het resultaat van het toepassen van de exponentiële functie of de sinusfunctie op een matrix A is hetzelfde als het toepassen van de corresponderende Taylorreeks voor exp of sin op de matrix A.
Het idee van het toepassen van een functie op een matrix wordt een functionele calculus genoemd, die daarom wordt de Dunford-calculus een “calculus” genoemd.
Het is standaard om in de definitie van de Dunford-calculus te eisen dat f complexe afgeleiden heeft, en in het algemeen definieert men dit met behulp van de Cauchy-integraalformule in het oneindig-dimensionale geval. Ik heb dit alles doorgenomen om alleen het simpele eindig-dimensionale geval uit te leggen, en ik heb een stap omzeild door uit te leggen wat een afgeleide van een functie van de complexe getallen naar de complexe getallen is. (Gelukkig is de functie x-> x ^ (1/3) oneindig differentieerbaar op de niet-nul reële getallen.) Er kunnen hier enkele subtiliteiten zijn, maar ik probeer een snel overzicht te geven van de concepten.
Het is daarom duidelijk dat de Jordan-vorm in zekere zin in wezen de Dunford-calculus is en dat de spectraalstelling de functionele calculus is voor operatoren met zelfaanpassing. (Dit laatste is het standpunt van Reed & Simon in Methods of Mathematical Physics I: Functionele analyse. Deze discussie is slechts eindig-dimensionaal, maar Reed & Simon beschouwen het oneindig-dimensionale geval.)
Hoe dan ook, het resultaat van dit alles is dat diagonaliseerbaarheid gerelateerd is aan noties van nemen functies van matrices. Dit wordt de functionele calculus genoemd, en er zijn verschillende functionele calculussen.
Zelfaanpassing is nu een beetje dieper, omdat het unitaire diagonaliseerbaarheid impliceert, niet alleen diagonaliseerbaarheid. De eigenruimten worden orthogonaal. Ik heb geen goede manier bedacht om uit te leggen wat hier intuïtief cruciaal aan is. In de kwantummechanica zijn orthogonale eigenruimten echter perfect te onderscheiden, en wordt zelfaaneenschakeling een natuurlijke toestand. Het spectrum van het waterstofatoom is slechts de verschillen van de eigenwaarden van zijn Hamiltoniaanse operator.
Het is mij een raadsel om een intuïtieve verklaring te bedenken waarom de kwantummechanica dergelijke wiskunde omvat.