Beste antwoord
\ frac {d} {dx} is geen “ding”. Je zou het moeten zien alsof het de naam is van een actie of bewerking, of een functie die één invoer nodig heeft. [1]
Specifiek, als f (x) een functie is, willen we misschien de differentiatie-actie uitvoeren op die functie; een manier om die actie te schrijven is \ frac {d} {dx} f (x). Dit betekent dat f (x) de invoer is voor de werking van differentiatie-met-betrekking-tot-x.
Grammaticaal is \ frac {d} {dx} dus niet “een volledige zin” , of zelfs een zelfstandig naamwoord. Het lijkt meer op een werkwoord dat een lijdend voorwerp nodig heeft. Dat lijdende voorwerp kan elke functie van x zijn – in het bijzonder, als y een functie is van x, dan is \ frac {d} {dx} y zinvol om te schrijven . In het Engels betekent deze zin “het resultaat van het nemen van de afgeleide-met-respect-naar-x van y”. Kortheidshalve schrijven we dit gewoonlijk als \ frac {dy} {dx}, maar totdat u vertrouwd bent met de \ frac {d} {dx} notatie, ik stel voor dat je de invoer voor de differentiatie-operatie naar rechts blijft schrijven, zoals ik heb gedaan.
Op je tweede vraag: de kettingregel is de methode voor het berekenen van een afgeleide van een samenstelling van functies.
[1] Ja, ik weet het, functies zijn ook dingen.
Antwoord
Laat f zijn de functie:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) waarbij x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Laten “s bereken \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Door (1) te differentiëren krijgen we:
(2) df = \ frac {\ partiële f} {\ partiële x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partiële f } {\ partieel x\_ {n}} dx\_ {n}
Als we beide zijden delen door dt, is het resultaat:
df = \ frac {\ partiële f} {\ partieel x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partiële f} {\ partiële x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
We krijgen het eindresultaat:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partiële f} {\ partiële x\_ {1}} x “\_ {1} (t) + … + \ frac {\ partiële f} {\ partiële x\_ {n}} x “\_ {n} (t) Deze afleiding wordt gedaan door gebruik te maken van de definitie van differentiaal van een multivariabele functie (vergelijking (2)).
Dus hoe zijn we aan deze definitie gekomen? Laten we eerst eens kijken hoe we definiëren dat f op een bepaald punt A differentieerbaar is.
Als we dat totale verschil van een functie f op een bepaald punt A er als volgt uit kunnen zien:
\ driehoek f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ driehoek x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
waarbij p\_ {k} een numerieke coëfficiënt is, \ omega is een functie die de eigenschap heeft dat \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 en \ rho (X, A) is de Euclidische afstand tussen A en X dan zeggen we dat functie f kan worden onderscheiden op punt A.
Nu hebben we nog een stelling nodig:
Expressie \ omega (X) \ rho (X, A) uit het bovenstaande kan geschreven worden als:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Bewijs:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
sinds | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), omdat | x\_ {k} -a\_ {k} | de rand een d \ rho (X, A) is de diagonaal van een rechthoekig parallellepipedum, we kunnen de breuk nemen als \ epsilon\_ {k} (X).
We hebben nu nog maar één stelling nodig om bij de differentiaal te komen. Deze stelling geeft ons de benodigde voorwaarden om de differentiaal van de functie te hebben.
Als de functie f is kan gedifferentieerd op een bepaald punt A, dan zijn er partiële verschillen op dat punt en het is waar dat:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ partiële f} {\ partiële x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Bewijs:
Aangezien we “hebben gezegd dat f kan worden onderscheiden in punt A, kunnen we schrijven:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Laten we zeggen dat n-1 variabelen hier constant zijn, en we laten slechts één wijziging beetje bij beetje. Bijvoorbeeld: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, krijgen we:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. Aan de linkerkant hebben we een differentieel met betrekking tot x\_ {1}. Als we beide zijden delen door x\_ {1} -a\_ {1} = \ driehoek x\_ {1} krijgen we:
\ frac {\ driehoek f\_ {x\_ {1}}} {\ driehoek x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Nu, als x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , dat is \ driehoek x\_ {1} \ mapsto 0, aan de linkerkant hebben we een gedeeltelijk differentieel met betrekking tot x\_ {1}, en aan de rechterkant hebben we p\_ {1} omdat we “hebben gezegd dat \ omega (X) \ mapsto 0. Het is gemakkelijk te zien dat hetzelfde resultaat van toepassing is, ongeacht welke variabele we uiteindelijk veranderen, daarom hebben we deze stelling bewezen. Vanaf hier hebben we dat
df = \ frac {\ partiële f} {\ partiële x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partiële f} {\ partiële x\_ { n}} dx\_ {n} die we hebben gebruikt om de oplossing te vinden.