Beste antwoord
Een spinor is slechts een vector die zich anders gedraagt onder rotaties en bepaalde andere transformaties .
In plaats van in algemeenheden te praten, denk ik dat het veel gemakkelijker wordt om aan spinors te denken als je een concreet wiskundig voorbeeld hebt om mee te werken. Dit antwoord gaat precies dat doen. Er wordt geen wiskundige kennis aangenomen die verder gaat dan inleidende lineaire algebra.
Een meer technische inleiding is te vinden op Steane “s uitstekende inleidende paper over het onderwerp, met een uitgebreidere behandeling hier: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Alle onderstaande illustraties zijn van hem. Als ik iets verkeerd begrijp, aarzel dan niet om commentaar te geven.
Wat zijn spinors?
Ik zei hierboven dat spinoren alleen vectoren. Wat betekent dat? Het betekent dat ze alle eigenschappen van vectoren hebben:
- ze kunnen bij elkaar worden opgeteld,
- vermenigvuldigd met een constante (ook wel een scalair genoemd),
- er bestaat zoiets als een “nul” spinor,
- en elke spinor heeft een inverse spinor.
Je kunt gaan vooruit en voeg meer complexe vereisten toe:
- Twee spinoren kunnen een goed gedefinieerd inproduct hebben, net als vectorruimten.
- Een spinor kan een betekenisvolle lengte hebben, net als andere vectorruimten.
enzovoort.
Over de alleen vereiste voor een spinor die het maakt verschilt van een vector is dat het proberen om het te draaien niet het verwachte resultaat zal geven – het proberen om 360 graden te draaien geeft niet je dezelfde spinor, maar roteren met 180 graden zal. Meer in het algemeen vereist rotatie met een hoek \ theta het gebruik van de rotatiematrix voor een hoek \ theta / 2!
Met dat in gedachten is hier een eenvoudige spinor die kan worden voorgesteld in een gewone driedimensionale Euclidische ruimte en die alle eigenschappen veronderstelt die ik hierboven heb genoemd. Dit is de eenvoudigste spinor, en degene die natuurkundigen het meest vertrouwd zal zijn.
Hier “is een volkomen geldige wiskundige beschrijving van de spinor hierboven:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Zeg hallo tegen je eerste spinor!
Nadenken over spinors: een waarschuwing
Voordat ik verder ga, merk op iets: de Euclidische ruimte, zoals ik al zei, is driedimensionaal – maar ik heb alleen twee componenten om mijn spinor te vertegenwoordigen! Hoe is dit mogelijk? Moeten niet alle vectoren hetzelfde aantal componenten hebben als de dimensie van de ruimte die ze innemen?
De tegenstelling kan in één zin worden opgelost: spinors leven niet in de Euclidische ruimte – ze kunnen overeenkomen met objecten in de Euclidische ruimte, en dingen die ze worden aangedaan kunnen overeenkomen met dingen die in de Euclidische ruimte zijn gedaan, maar dat is niet hun thuis.
De waarheid is dat de spinor niet bestaat uit twee componenten, zoals ik hierboven al zei (op dit punt kijk je waarschijnlijk naar het scherm en vloek je zachtjes ). Een spinor heeft niet dezelfde oriëntatie als een vector in de vectorruimte waarin we hem hebben geplaatst – je kunt er objecten mee modelleren in een gewone vectorruimte, zoals ik hier heb, maar een echte spinor wordt gedefinieerd door meer parameters dan die van een gewone vector in zon ruimte.
Simpel gezegd , waar de oriëntatie van een gewone vector zou worden gedefinieerd door r, \ theta, \ phi, wordt de oriëntatie van een spinor gedefinieerd door r, \ theta, \ phi, \ alpha en zijn teken (in het bovenstaande voorbeeld als positief aangenomen) – eigenlijk kan een driedimensionale vectorruimte worden weergegeven door een vier- dimensionaal spinor (het teken, aangezien het maar twee waarden kan aannemen, kan ook als een dimensie worden beschouwd, maar zou nogal onnodig zijn).
Je kunt deze spinor ofwel uitschrijven als een vector met vier componenten , één voor elke parameter, vermenigvuldigd met een teken – of je kunt een truc gebruiken, zoals Ik heb gedaan, en doen alsof dat de spinor complexe componenten heeft, waardoor we netjes hetzelfde
Dus voordat ik verder ga, onthoud : spinors hoeven alleen dezelfde ruimtelijke dimensie te hebben (dwz de parameters die nodig zijn om de oriëntatie in de ruimte te specificeren), maar dat hoeven niet de enige parameters te zijn die het definiëren. In dit geval behandel ik de componenten van mijn spinor als complex-gewaardeerd, en daarom kan ik het zo beknopt schrijven in een tweecomponenten kolomvector – maar spinoren kunnen en hebben meer parameters, en daarom zijn ze best lastig werken met.
In het echte leven zou ik sterk aanraden te onthouden dat spinors “t echt niet leven naast ons – het zijn, net als alle andere dingen in de natuurkunde, wiskundige abstracties die het leven gemakkelijker maken om mee te werken. Alles wat we gebeurt echt met driedimensionale objecten – maar we kunnen spinoren gebruiken om ze te modelleren en de wiskunde leuker te maken, en daarom doen we het.
Aan rijd dit punt naar huis, overweeg dan het volgende diagram:
Merk op hoe de aanwezigheid van de vlaghoek maakt problemen zo eenvoudig als rotatie en wat orthogonaliteit inhoudt. Het is een extra parameter , en dat maakt het verschil.
Vanwege de problemen die deze vreemde dimensionaliteit van de spinor met zich meebrengt, kun je niet zomaar de gewone rotatiematrix gebruiken voor twee dimensies we kennen het meest, namelijk de alomtegenwoordige \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} voor elke hoek. Dit zou correct zijn voor een tweedimensionale vector, maar zelfs de eenvoudigste spinoren zijn niet , zoals ik heb gezegd, tweedimensionaal. U kunt zelfs niet de gewone driedimensionale matrices gebruiken – u kunt het effect van rotatie zeker vertalen naar deze jongens, maar het is niet correct om direct vermenigvuldig een spinor ermee, omdat ze niet in dezelfde ruimte thuishoren.
Spinors roteren
Een rotatie rond elke as wordt dan gegeven door zijn eigen speciale rotatiematrix, gedefinieerd in een totaal andere ruimte waar spinoren werkelijk leven (in plaats van Euclidische ruimte). Laten we de rotatiematrices aanduiden met een hoek \ theta in de x, y, z-richtingen als R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Dan ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Hier is het leuke gedeelte: merk je hoe al deze rotatiematrices de halve hoek \ frac {\ theta} {2} gebruiken om te roteren met de hoek \ theta?
Het is waar! Dit fenomeen van hoekverdubbeling is het kenmerk van spinoren: je kunt zelfs bewijzen dat het vermenigvuldigen van een spinor met deze halfhoekige matrices equivalent is aan het ruimtelijke deel roteren met de volledige hoek.
En dat is letterlijk het : alles wat je nodig hebt om te weten over spinoren – dat het vectoren zijn die in hun eigen speciale ruimte leven en hun eigen speciale rotatiematrices hebben – behandeld in één Quora-antwoord. Ik heb mijn aandacht natuurlijk beperkt tot de eenvoudigste spinoren die er zijn, maar de essentiële functies worden allemaal gepresenteerd. Als je meer wilt weten, raadpleeg dan Steane (hierboven gelinkt).
Waarom we om spinors geven
Spinors zijn belangrijk omdat het blijkt dat ze het volledige spectrum van gedrag verwacht van subatomaire deeltjes. In het bijzonder worden deeltjes gebundeld met intrinsiek impulsmoment, een eigenschap die we spin noemen (zie het antwoord van Brian Bi op Betekent de spin van subatomaire deeltjes eigenlijk impulsmoment? (dwz draait het deeltje werkelijk * rond *)? voor een volledige beschrijving).Door deeltjes te modelleren als spinoren in plaats van gewone vectoren, kunnen we met succes de interactie beschrijven die we van deze spin verwachten en kunnen we een volledige beschrijving geven van het gedrag van deeltjes – spinoren vormen inderdaad de basis van de Dirac-vergelijking, die de Schrodinger-vergelijking vervangt. om een golfvergelijking te bieden die compatibel is met de speciale relativiteitstheorie en vormt op zijn beurt de basis van de kwantumveldentheorie (de uitbreiding van de kwantummechanica om krachten te beschrijven).
Antwoord
Spinors zijn geometrische objecten die bestaan in het leven in echte vectorruimten (in tegenstelling tot complexe of quaternionische vectorruimten).
Dus om een stap terug te doen, een vector is een object dat in de ruimte bestaat en naar verluidt in een bepaalde richting wijst. Wat dat betekent is dat als je je assen roteert, de componentenvector op dezelfde manier verandert.
Vectoren hebben de eigenschap dat als je ze 360 ”roteert, je hetzelfde object terugkrijgt.
Er zijn tal van geometrische objecten die kunnen worden geconstrueerd uit vectoren. je kunt twee vectoren nemen en ze met elkaar vermenigvuldigen om tensoren te krijgen. In het bijzonder is het traagheidsmoment-tensor er één van. Tensoren hebben de eigenschap dat als je ze 360 ”/ N draait, je hetzelfde object terugkrijgt en als je draai ze 360 ”je komt altijd terug bij hetzelfde object.
In ruimtes met een symmetriegroep die orthogonaal is (die van nature voorkomen in echte vectorruimten), zijn er andere soorten geometrische objecten die niet uit vectoren bestaan. Een manier om dit te zien, is dat als je ze 360 ° roteert, je niet hetzelfde object terugkrijgt, maar dat je in plaats daarvan -1 keer het oorspronkelijke object krijgt – het wijst in de “tegengestelde richting.
Dit zijn rare objecten; deze objecten zijn echter degenen die van nature spin 1/2 objecten in de natuurkunde beschrijven.
Deze objecten bestaan vanwege de vreemde eigenschap dat de orthogonale symmetriegroep dubbel is verbonden. Er is hier een rijke wiskundige structuur, maar deze objecten zijn moreel de vierkantswortel van een vector – dat wil zeggen dat als je meerdere twee spinoren bij elkaar hebt, je een vector krijgt, zoals wanneer je twee vectoren samen vermenigvuldigt, krijg je een tweede rang tensor zoals het moment van traagheidstensor.