Cel mai bun răspuns
Numai când θ = 0.
Este evident din punct de vedere geometric că pentru orice θ între 0 și π / 2, 2sinθ este lungimea coardei unui arc de radian măsură 2θ într-un cerc de rază 1. Și deoarece coarda este mai scurtă decât arcul, trebuie să avem sinθ <θ pentru toate aceste θ. Și desigur, dacă θ> 1, atunci sinθ . În cele din urmă, sinθ <θ pentru toate pozitive θ implică sinθ> θ pentru toate negative .
Chiar dacă θ este măsurat în grade, sinθ nu poate fi egal cu θ decât dacă θ = 0, pur și simplu pentru că măsura radiană a unui arc de θ grade este πθ / 180, care este mult mai mic decât θ.
Răspuns
Cred că întrebarea mai bună este, \ cos \ theta equal 2?
Probabil știți că nu poate dacă \ theta este unghiul unui triunghi în geometria plană, deoarece hipotenuza unui triunghi dreptunghi este mai lungă decât lungimile picioarelor sale, iar piciorul adiacent nu poate fi de două ori lungimea hipotenuzei. În mod similar, dacă \ theta este un număr real, deoarece \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Astfel, dacă \ theta \ in \ mathbb R, atunci -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, prin urmare \ cos \ theta nu poate fi 2.
Cu toate acestea, susținem că dacă z \ in \ mathbb C, este posibil pentru \ cos z = 2. Într-adevăr, definiția analitică complexă a cosinusului este \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, deci încheiem cu o ecuație pătratică, la care sperăm că majoritatea dintre noi suntem obișnuiți .
Dorim să rezolvăm \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Luând w = e ^ {iz}, acesta devine \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2, sau echivalent, w ^ 2-4w + 1 = 0. Aplicăm apoi formula pătratică:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Deoarece w = e ^ {iz}, putem lua apoi jurnalul natural, dar trebuie să fim atent : la fel cum a ^ 2 = b ^ 2 nu implică a = b (implică doar a = \ pm b), e ^ a = e ^ b nu implică a = b, ci doar implică a = b + 2 \ pi ik pentru unele k \ in \ mathbb Z. Prin urmare,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Apoi, înmulțim pur și simplu cu -i pentru a obține valoarea z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Putem rescrie în cele din urmă soluția noastră, menționând că 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3} și, prin urmare, \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Comportamentul lui \ cos z ca funcție analitică complexă imită funcția trigonometrică în direcția reală și cosinusul hiperbolic în direcția imaginară; de fapt, este posibil să știți că \ cos (iz) = \ cosh z și \ sin (iz) = i \ sinh z; și combinarea acestor fapte cu formula sumei cosinusului implică \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, cu x, y \ in \ mathbb R. Aceasta oferă o modalitate alternativă de a elabora Răspuns. Philip Lloyd are o diagramă grozavă despre asta: răspunsul lui Philip Lloyd la De ce nu poate fi egal cu 2?