Cel mai bun răspuns
Pentru a fi precis, nu puteți lua bucla unui singur vector. Aveți nevoie de un câmp vector pentru a lua bucla, ceva de genul acesta:
Bucla este un operator diferențial care ia un câmp vectorial tridimensional și scuipă un alt câmp vectorial tridimensional.
Pentru a obține o idee despre ceea ce înseamnă bucla, imaginați-vă că avem un câmp vector care reprezintă viteza unui fluid. Adică fluidul umple un spațiu și „câmpul vitezei” ne spune care este viteza fluidului în fiecare punct al spațiului respectiv. Dacă luăm bucla câmpului vitezei, vom obține un nou câmp vector care ne spune, aproximativ vorbind, modul în care fluidul se rotește la fiecare punct în spațiu. În mod specific, magnitudinea vectorului curl vă indică puterea rotației, iar direcția vă spune direcția de rotație în conformitate cu regula din dreapta .
In cartesi o coordonate, bucla poate fi calculată ca produs încrucișat al operatorului del și câmpul original: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ partial F\_z} {\ partial y} – \ frac {\ partial F\_y} {\ partial z}) \ hat {x} + (\ frac {\ partial F\_x} {\ partial z} – \ frac {\ partial F\_z} {\ partial x}) \ hat {y} + (\ frac {\ partial F\_y} {\ partial x} – \ frac {\ partial F\_x} {\ partial y}) \ hat {z}
Unul dintre cele mai mari motive pentru care bucla este importantă este descompunerea Helmholtz . Practic, tot ce ai nevoie pentru a caracteriza complet un câmp vectorial este divergența și ondularea acestuia. Acest lucru este folosit cu un efect deosebit, de exemplu, în ecuațiile Maxwell, care prin specificarea buclei și divergenței câmpurilor electrice și magnetice, vă permit să rezolvați câmpurile: „>
Răspuns
Diferite persoane pot găsi diferite analogii / vizualizări utile, dar aici este un posibil set de„ semnificații fizice ”.
Divergență: Imaginați-vă un fluid, cu câmpul vector reprezentând viteza fluidului în fiecare punct al spațiului. Divergența măsoară fluxul net de fluid din (adică, divergent de la) un punct dat. Dacă fluidul curge în schimb în acel punct, divergența va fi negativă.
Un punct sau o regiune cu divergență pozitivă este adesea denumită„ sursă ”(de fluid sau orice altceva) câmpul descrie), în timp ce un punct sau o regiune cu divergență negativă este o „scufundare”.
Curl: Să revenim la fluidul nostru, câmpul vector reprezentând viteza fluidului. Bucla măsoară gradul în care fluidul se rotește în jurul unui punct dat, vârtejurile și tornadele fiind exemple extreme.
Imaginați-vă o bucată mică de fluid, suficient de mică încât bucla să fie mai mult sau mai puțin constantă în ea. Voi sunteți, de asemenea, micșorați foarte puțin și vi se spune că trebuie să înotați o tură în jurul perimetrului acelei bucăți de fluid. Alegeți să înotați în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic? Dacă bucla vitezei este zero, atunci nu contează. Dar, dacă este diferită de zero, atunci într-o direcție ați merge mai ales cu curentul și în cealaltă direcție ați merge mai ales împotriva curentului, deci alegerea direcției dvs. ar conta . Semnul buclei vă va spune care este alegerea corectă.
Gradient: Deși este perfect valabil să luați gradientul de un câmp vector, rezultatul este un tensor de rangul 2 (ca o matrice), și astfel este „mai greu de explicat în termeni intuitivi (deși poate că altcineva îl va gestiona). Deci, în schimb, voi vorbi despre gradientul unui câmp scalar : în mod specific, câmpul care dă cota solului deasupra nivelului mării la un punct dat pe Pământ (specificat, să zicem, în termeni de latitudine și longitudine).
În acea situație, gradientul este de fapt destul de simplu: indică „în sus” (în direcția cea mai abruptă), iar magnitudinea spune de exemplu, dacă gradientul indică nord-estul cu o magnitudine de 0,2, atunci direcția cea mai abruptă urcare este nord-est și fiecare metru pe care îl parcurgeți spre nord-est va avea ca rezultat 0,2 metri de câștig.
Pentru gradientul unui câmp vector, îl puteți gândi ca gradientul fiecărei componentă a acelui câmp vector individual, fiecare dintre ele fiind un scalar.