Cel mai bun răspuns
Este dificil să alegi una, așa că te voi lăsa să alegi 🙂
- Identitatea lui Euler
Ecuația combină cinci dintre cele mai importante numere din matematică Acestea sunt:
- 1 – baza tuturor celorlalte numere
- 0 – conceptul neantului
- pi – numărul care definește un cerc
- e – numărul care stă la baza creșterii exponențiale
- i – rădăcina pătrată „imaginară” a -1
2. Ecuația câmpului Einstein ( rezumat al celor zece ecuații)
Fizicianul John Wheeler a rezumat-o succint: „Spațiul-timp spune importanței cum să te miști ; materia spune spațiului-timp cum să se curbeze. „
Ecuația lui Einstein ne poate spune cum s-a schimbat universul nostru de-a lungul timpului și oferă priviri ale primului moment s ale creației. Nu este o surpriză faptul că este preferatul multor oameni de știință.
3. Ecuația undelor
Ecuația undelor descrie modul în care se propagă undele. Se aplică tuturor tipurilor de unde, de la undele de apă la sunet și vibrații, și chiar undele de lumină și de radio.
Este un copil poster pentru ideea că principiile matematice s-au dezvoltat într-o zonă sau pentru propria lor sake, poate avea aplicații vitale în alte domenii. Frumusețea sa provine din combinația acestor atribute: eleganță, surpriză, profunzime intelectuală, utilitate.
4. Harta logistică
Harta logistică este unul dintre exemplele clasice ale teoriei haosului.
poate fi rezumată după cum urmează: o mare complexitate poate apărea din reguli foarte simple.
Ecuația poate fi utilizată pentru a modela multe procese naturale, de exemplu, cum o populație de animale crește și se micșorează în timp.
Modul în care se comportă populația se dovedește a fi extrem de sensibil la valoarea lui r, în moduri contraintuitive. Dacă r este între 0 și 1, populația va muri întotdeauna, dar dacă este între 1 și 3, populația se va apropia de o valoare fixă - și dacă este peste 3,56995, populația devine imprevizibilă.
Aceste comportamente sunt descrise ca „haotice” de către matematicieni și nu sunt ceea ce ne-am aștepta instinctiv. Dar toate ies dintr-o ecuație care este matematic destul de simplă.
Asta e, deocamdată.
Dacă credeți că am ratat o ecuație, vă rog să-mi spuneți, eu ” Îl voi adăuga în răspuns 🙂
Răspuns
Văd o mulțime de probleme de calcul de bază care implică PEMDAS chiar acum postate aici, dar asta este o matematică elementară pe care sunt sigură 99\% dintre oamenii care cred că sunt foarte pricepuți la matematică se pot corecta. Am observat, de asemenea, ecuația lui Bob Hock, care este foarte creativă, dar nu cred că este atât de dificil de dovedit.
Problema pe care o postez aici este problema 2006 AIME II 15, care arată foarte complicat, dar se descompune în ceva destul de simplu printr-o relație creativă:
Având în vedere că x, y și z sunt numere reale care satisfac
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
și că x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, unde m și n sunt numere întregi pozitive și n este nu este divizibil cu pătratul niciunui prim, găsiți m + n
La prima vedere, rezolvăm o problemă de algebră în care trebuie să găsim suma. Un prim gând ar putea fi să pătrăm ecuațiile pentru a scăpa de rădăcinile pătrate într-o oarecare măsură, dar o astfel de metodă este în mod clar dezordonată.
Observând că nu trebuie să rezolvăm pentru fiecare dintre x, y , z separat și au nevoie doar de suma lor, am putea lua în considerare adăugarea celor trei ecuații date, ceea ce dă
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Avem ceea ce avem nevoie pe de o parte, dar cealaltă parte nu pare că nimic se va anula, deci acest lucru nu pare corect.
O a treia idee ar fi factorizarea expresiei din rădăcinile pătrate folosind diferența de pătrate întrucât fracțiile date sunt toate pătrate perfecte. Acest lucru dă
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
etc, dar chiar și așa, nu există o cale clară pentru a manipula factorii în orice mod util. Pe scurt, putem încerca să rezolvăm o variabilă la un moment dat, dar nu există o modalitate clară de a face acest lucru.
Se pare că cea mai bună soluție la această problemă este să gândim geometric. Amintiți-vă Teorema lui Pitagora afirmă că într-un triunghi dreptunghiular cu picioarele a, b și hipotenuză c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Putem manipula acest lucru pentru a obține a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Aceasta este exact forma termenilor din RHS ai ecuațiilor.
Dacă desenăm un triunghi corespunzător cu această realizare, din prima ecuație putem forma două triunghiuri dreptunghiulare cu înălțimea \ frac {1} {4} și cu hipotenuza y și z. x este egal cu suma celei de-a treia lungimi a fiecărui triunghi dreptunghiular. Dacă lăsăm înălțimea triunghiurilor dreptunghiulare să fie același segment de linie de lungime \ frac {1} {4}, formăm un triunghi mai mare cu lungimi laterale x, y, z și înălțimea de \ frac {1} {4} pe partea x.
Continuând cu aceeași idee pentru a doua și a treia ecuație, obținem că înălțimea triunghiului de pe laturile y și z este \ frac {1} {5} și \ frac {1} {6}, respectiv. Din ecuația de suprafață a unui triunghi, putem obține
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {și} y = \ frac {5} {6} z
Mai mult, din formula Heron , obținem
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Înlocuind în z din celelalte formule de zonă, acest lucru se simplifică la
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Astfel,
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
deci m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}