Cel mai bun răspuns
Presupun că este un con circular drept cu raza de bază R și înălțimea H, centrat la originea O iar axa sa este de-a lungul axei Z, axele X și Y trec prin bază.
În acest scenariu îl putem exprima ca o serie de cercuri sau discuri plasate unul peste altul, descrescând uniform în raza de jos în sus.
Deci raza cercului la o anumită înălțime h de sus va fi r = htan (θ) unde θ este unghiul semi vertical.
Ecuația unui astfel de cerc va fi x ^ 2 + y ^ 2 = h ^ 2tan ^ 2 (θ).
Fiecare punct al acestui cerc poate fi exprimat, în spațiul cartezian cu 3 coordonate ca (htan (θ) cos (Φ), htan (θ) sin (Φ), Hh).
Unde h variază de la 0 în partea de sus la H în partea de jos, iar Φ este unghiul parametric pentru punctul general de pe cerc.
Acesta descrie o serie de cercuri concentrice cu rază uniform descrescătoare, făcându-l un con gol cu baza deschisă.
Înlocuirea = simbol în ecuația cercului cu îl va face un set de toate punctele care se află pe sau în interiorul cercului, făcându-l un con solid.
Răspuns
Am derivat eu însumi. Vedeți dacă puteți găsi soluții mai bune în altă parte.
Aceasta este pentru o formă conică care se extinde de-a lungul și pe toată axa z.
x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 \ cdot z ^ 2
Acest lucru este simplu de înțeles, deoarece raza ar trebui să crească liniar pe măsură ce componenta z se schimbă pentru o formă conică.
În acest caz r = a \ cdot zr \ propto z
a definește panta suprafeței înclinate a conului. Dacă unghiul de vârf este 2 \ mathrm {\ theta}, atunci a = \ mathrm {tan} (\ mathrm {\ theta})
Actualizare 1: Dacă doriți conul de rază r, lungimea axei h pentru a avea un vârf specific \ mathrm {(x\_0, y\_0, z\_0)} și axa sa este paralelă cu axa z.
Atunci ecuația va fi (x-x\_0) ^ 2 + (y -y\_0) ^ 2 = a ^ 2 \ cdot (z-z\_0) ^ 2 cu constrângerea 0 \ le z\_0-z \ le h Rețineți că acesta va furniza conul al cărui vârf este îndreptat în sus; pentru celălalt con, schimbați doar constrângerea la 0 \ le z-z\_0 \ le h.