Cel mai bun răspuns
Derivarea acestei sume este similară cu cea pentru
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Let
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Deoarece adunarea este comutativă, putem scrie S în sens invers așa
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ dots + 1 \ tag * {(2)}
Adăugarea acestor două reprezentări termen cu termen ne oferă
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ dots (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n times}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
De aici, evident că
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Acesta este un rezultat cunoscut care poate fi dovedit prin inducție, pe care îl voi continua și voi face chiar acum. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătăm că
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Notă: folosesc H\_ {0} ca referință abreviută pentru enunțul de ipoteză)
Pentru a arăta că H\_ { 0} se menține prin inducție, trebuie să arătăm că egalitatea este valabilă pentru cazul de bază, n = 1, și cazul de inducție, n = k + 1, k \ în \ mathbb {N}. Cazul de bază este evident din moment ce 1 = 1 ^ {2} = 1, ceea ce ne lasă cu cazul de inducție.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Vedem că egalitatea este valabilă pentru k + 1, prin urmare dovedind că H\_ {0} este într-adevăr adevărat. Astfel, putem afirma definitiv că derivarea noastră de (6) este într-adevăr corectă.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Răspuns
Să vedem și să vedem. Oricine poate observa cel puțin primele instanțe, nu?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Acum, recunoașteți numerele din dreapta?
1,4,9,16,25, \ ldots
Da! sunt pătratele perfecte. 1 \ ori 1, 2 \ ori 2, 3 \ ori 3, 4 \ ori 4 și așa mai departe.
Acum avem o presupunere. Să o punem la încercare:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Da! Cele mai mici șase numere impare însumează 6 ^ 2, exact așa cum am prezis. Puteți încerca încă câteva: funcționează.
Dacă suntem fizicieni, ne oprim aici. Am „făcut o observație, am format o ipoteză, ne-am testat ipoteza experimental o dată și de două ori și de o sută de ori, funcționează întotdeauna, gata. Teoria noastră este corectă până când un experiment o respinge.
Dar noi suntem matematicieni, nu suntem noi? Avem nevoie de dovezi. Și există multe dovezi riguroase ale acestui fapt mic și frumos.
Dar există și o dovadă vizuală clară. Iată-l:
EDIT: mulți oameni au cerut o dovadă riguroasă. Aici „este una relativ simplă care poate fi derivată din această dovadă vizuală.
Observăm că numerele impare sunt doar diferențele dintre pătratele consecutive, așa:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
și așa mai departe. Prin urmare, atunci când le adunăm, totul se anulează, cu excepția ultimului pătrat:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Deci, acum să scriem acest lucru formal pentru orice număr de numere impare care se adună. Pentru orice k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
și, prin urmare, suma primelor n numere impare, care este
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
este egal cu
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED