Cel mai bun răspuns
Din păcate, nu există nicio metodă simplă. Cu toate acestea, există modele pentru cifrele sale finale, deși acesta este un subiect diferit.
Iată formula oricum: Sume factoriale – din Wolfram MathWorld
=
unde
este integrală exponențială ,
este partea reală a z,
este funcția gamma și i este numărul imaginar .
Răspuns
Trucul pentru a înfricoșa numărul de probleme ca acesta este t o găsiți modele.
În primul rând, trebuie să scăpăm de toate acele numere urâte implicate în factorii și exponenții gigantici. Întrucât ne uităm doar la ultima cifră, orice cifră trecută (cifre de zeci, sute, etc.) nu o va afecta. (Acest lucru se datorează faptului că toate valorile celorlalte cifre sunt toate multipli de 10, dar din moment ce 10> 1 și fiecare multiplu de 10 se termină cu 0, nu afectează cifra unităților.)
Cel mai bun pariu al nostru este pentru a începe cu găsirea cifrei unităților acelui număr fără exponentul (doar baza). Deoarece primele câteva factoriale sunt ușor de calculat, facem. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320 … De ce continuă să se termine cu zero?
Este din cauza factorialului factorizarea primă . După cum știți, 10 = 5 \ cdot 2. Dacă factorizarea primară a ceva are 5 și 2, atunci este multiplu de zece (de proprietatea distributivă). Deoarece ultima cifră a unui număr din baza zece (ceea ce folosim) este în esență partea care nu este divizibilă cu 10, în multiplii de 10 este 0.
Acum ne uităm din nou la factoriali .
1 = 1
2 = 1 * 2
3 = 1 * 2 * 3
4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3
5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5
Deoarece factorialul de orice mai mare de 5 va fi multiplu de 5 !, știți că va avea un 2 și un 5 în factorizarea sa primară, așa că toate se termină în 0. Ura! Acum trebuie doar să ne uităm la 1 !, 2 !, 3 !, și 4 !. După cum am calculat deja, suma lor este 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, a cărei ultimă cifră se termină în 3.
Acum, problema noastră este 3 ^ 33. Încercăm să căutăm din nou modele. Să vedem câteva puteri de 3!
3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….
Hmmmm. Ciclează: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 … (Notă: Nu știu de ce se întâmplă acest lucru. Cineva spune-mi te rog!) care se termină cu 1, după cum puteți vedea. 32 este multiplu de 4, deci 3 ^ 32 se termină în 1. Acum ne uităm pur și simplu la următorul număr din ciclu: 3! Prin urmare, se termină în 3.