Cel mai bun răspuns
Simplu…. 🙂
Adesea îl folosim ca rezultat direct.
Răspuns
Din păcate, nici seriile Taylor, nici răspunsurile bazate pe reguli lHopital nu pot fi calificate ca dovezi riguroase deoarece introduc un argument circular: ambele metode necesită calcularea unei derivate a funcției f (x) = \ sin (x), pentru a calcula la care trebuie să știm cu ce este egală limita în cauză. Cu alte cuvinte, în timp ce căutăm pentru A, introducem B, dar pentru a găsi B trebuie să știm ce este A.
Nu este atât de dificil să construim o dovadă suficient de riguroasă care să treacă la fel de acceptabilă într-un „ Curs de analiză matematică ”. Iată o versiune: în desenul de mai jos \ triunghi AOC este un triunghi isoscel conținut în sectorul circular OApC care, la rândul său, este conținut în triunghiul dreptunghiular OAB. Segmentul de linie AB este perpendicular pe raza OA:
Din „Elementele” lui Euclid din Cartea 3 Propoziția 16 urmează că suprafețele pătrate ale obiectelor de mai sus sunt sortate după mărime după cum urmează:
A \_ {\ triangle OAC} \_ {OApC} \_ {\ triangle OAB}
În această propunere Euclid (practic) dovedește că este imposibil să strângeți o altă dreaptă între AB și circumferința cercului q în punctul A în așa fel încât noua dreaptă să fie poziționată între AB și p. În schimb, înseamnă că orice linie dreaptă care taie unghiul drept OAB cade în mod necesar în interiorul cercului – așa cum face sigmentul de linie AC mai sus. Apoi, folosind formulele pentru ariile unui triunghi și ale unui sector circular și faptul că unghiul AOC este măsurat în radiani, avem :
\ frac {OA \ times CH} {2} frac {\ alpha\_n \ times r ^ 2} {2} frac {OA \ times AB} {2}
r ^ 2 \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n \ times r ^ 2 ^ 2 \ times \ tan (\ alpha\_n)
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n tan (\ alpha\_n)
Respectați inegalitatea cea mai stângă:
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n
așa cum o vom folosi mai târziu. Apoi, considerăm că 0 alpha\_n frac {\ pi} {2} și asta ne dă dreptul de a împărți ultima inegalitate dublă la \ sin (\ alpha\_n):
1 frac {\ alpha\_n} {\ sin (\ alpha\_n)} frac {1} {\ cos (\ alpha\_n)}
Deoarece \ cos (x) este o funcție uniformă și f (x) = x și \ sin (x) sunt ambele impare, valorile reciproce ale inegalității de mai sus sunt:
1> \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n}> \ cos (\ alpha\_n)
Înmulțiți cele de mai sus cu -1 și răsturnați semnele de inegalitate:
-1 \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} \ cos (\ alpha\_n)
Adăugați 1 la cele de mai sus:
0 – \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} – \ cos (\ alpha\_n)
Dar:
1 – \ cos (\ alpha\_n) = 2 \ sin ^ 2 (\ frac {\ alpha\_n} {2}) \ sin (\ frac {\ alpha\_n } {2}) \ frac {\ alpha\_n} {2} = \ alpha\_n
din cauza inegalității „din stânga” pe care am dovedit-o mai devreme (vezi mai sus). Acum:
1 – \ cos (\ alpha\_n) alpha\_n
și asta înseamnă că:
0 – \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} alpha\_n
Deoarece am presupus mai devreme că 0 alpha\_n frac {\ pi} {2}, putem folosi valorile absolute în inegalitățile de mai sus:
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n |
care se conformează definiției \ epsilon, \ delta a unei limite: pentru orice \ epsilon> 0 alegem \ delta = min (\ epsilon, \ frac {\ pi} {2}) :
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n | = | \ alpha\_n – 0 | delta
Acum, dacă am studia nu o variantă „continuă”, ci o secvență discretă, atunci am stabili \ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} și am avea:
\ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} delta \ leq \ epsilon
de unde:
n> \ frac {\ pi} {2 \ epsilon}
și în cele din urmă:
\ forall \ epsilon> 0 \ quad \ există N = \ frac {\ pi} {2 \ epsilon} \ quad: \ quad \ forall n > N \ quad | \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} – 1 | epsilon
În ambele cazuri înseamnă că:
\ lim\_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1
Observați că, ca bonus suplimentar în această linie de raționament, am demonstrat automat că:
\ lim\_ {x \ to 0} \ cos (x) = 1
Și din inegalitatea dedusă mai devreme \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n rezultă că imediat ce | \ alpha\_n – 0 | delta avem | \ sin (\ alpha\_n) – 0 | epsilon ceea ce înseamnă că:
\ lim\_ {x \ to 0} \ sin (x) = 0
De unde rezultă imediat că putem calcula următoarea limită:
\ lim\_ {x \ to 0} \ tan (x) = 0
(lăsat ca exercițiu pentru cititor) etc.
Pentru a sărbători victorie, să calculăm următoarea limită care are totul de-a face cu expresia de lucru a acestei întrebări:
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos ( \ frac {\ phi} {2 ^ k})
unde \ phi este un număr arbitrar diferit de zero (real).Scrieți primii termeni ai produsului:
\ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac { \ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
Începeți cu identitatea cu unghi de jumătate:
\ sin (\ phi) = 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ sin (\ frac {\ phi} {2})
Aplicați-l din nou la \ sin (\ frac {\ phi} {2}):
\ sin (\ phi) = 2 ^ 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2 }) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2})
Și din nou – to \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}):
\ sin (\ phi) = 2 ^ 3 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 3})
Și așa mai departe. Vedem că după n astfel de substituții vom avea:
\ sin (\ phi) = 2 ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
De unde rezultă că produsul nostru lung de cosinus poate fi reprezentat ca:
\ frac {\ sin (\ phi)} {2 ^ n \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})} = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi} \ frac {\ frac {\ phi} {2 ^ n}} {\ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})}
Dar știm deja care este limita de mai sus și, prin urmare:
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ k}) = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi}