Cel mai bun răspuns
Majoritatea secvențelor pe care le întâlnești sunt date de o formulă pentru n- al treilea termen: a\_n = f (n) unde f este o funcție construită din operații aritmetice, puteri, rădăcini, exponențiere, jurnale și, uneori, alte funcții. Întrebarea este ce se întâmplă pe măsură ce n se apropie de infinit. Este \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) un număr finit, adică converge secvența sau se întâmplă altceva? Diverge la \ infty sau la – \ infty, oscilează între două numere diferite sau se dezlănțuie tot haosul?
Dacă „nu vă interesează certitudinea, dar sunteți mulțumit de un răspuns care” Va avea dreptate în majoritatea situațiilor, puteți calcula a\_ {1000} sau altundeva în secvență. Pentru majoritatea secvențelor pe care le întâlniți, acestea ar trebui să vă răspundă la întrebare.
Dar aceasta nu este întrebarea dvs. Chiar doriți să știți dacă secvența converge sau nu. Doriți certitudine și, dacă este posibil, doriți să știți la ce număr converge. Din păcate, formele pe care le pot lua secvențele sunt nelimitate. Cel mai bun lucru pe care îl puteți face este să aveți câteva principii care vor avea grijă de majoritatea cazurilor. Iată câteva principii.
- Funcții raționale , adică cotații de polinoame, cum ar fi a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Puteți vedea ce se va întâmpla dacă împărțiți numărătorul și numitorul la puterea cea mai mare de n care este prezentă. Puteți rezuma totul într-o teoremă: Dacă gradul numărătorului este același cu gradul numitorului, apoi secvența converge la raportul coeficienților de conducere (4/3 în exemplu); dacă numitorul are un grad mai mare, atunci secvența converge la 0; dacă numeratorul are un mare gradul r, apoi secvența divergă la \ infty dacă coeficienții de frunte au același semn sau la – \ infty dacă au semne diferite.
- Cotații de funcții algebrice care implică rădăcini precum a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Împarte numeratorul și numitorul la o putere fracțională de n. În acest exemplu, \ sqrt n va face.
- Compoziții , de exemplu, a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. Funcția exterioară, sinus, este o funcție continuă, iar funcțiile continue păstrează limitele. În acest caz avem \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, deci secvența originală se apropie de \ sin0 = 0. Dar ia în considerare a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}. Aici avem \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty, iar \ sin x oscilează între –1 și 1 ca x \ to \ infty, deci această secvență nu are limită.
- Ordinele relative de creștere . În mod frecvent veți avea a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)} unde atât f (n) \ to \ infty cât și g (n) \ to \ infty. Ce se întâmplă cu coeficientul depinde dacă numeratorul sau numitorul crește mai repede. Voi folosi simbolul \ prec pentru a indica faptul că unul crește mult mai lent decât altul, adică f \ prec g înseamnă \ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Este util să cunoașteți câteva dintre acestea și faceți acest lucru. De exemplu, n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Toate acestea sunt exemple de polinoame, dar ar trebui să cunoașteți câteva alte funcții \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- Regula L „Hôpital” . Deși secvențele sunt discrete, dacă limita continuă converge sau dacă divergă la plus sau minus infinit, atunci așa face limita discretă. Deci, de exemplu, dacă ai „a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} și nu ai folosit ordinele menționate mai sus, ai putea folosi L„ Hôpital ” Regula s. Deoarece în limită, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, numeratorul și numitorul se apropie amândoi de infinit, acea limită va fi aceeași cu limitați locul în care înlocuiți numeratorul și numitorul cu derivatele lor, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x} și dacă tot nu este clar ce se întâmplă, deoarece acest lucru este, de asemenea, de formularul \ infty / \ infty, puteți utiliza regula ag „L” Hôpital ” ain.
- Limita specială pentru e ^ x. Uneori, aceasta este utilizată ca definiție a funcției exponențiale. Merită să știți și apare frecvent în secvențe utile. (1 + x / n) ^ n \ to e ^ x
Sunt sigur că există mai multe tehnici. Nu uitați să simplificați utilizarea algebrei pe măsură ce mergeți.
Răspundeți
Puține teste pentru testarea convergenței secvențelor.
1. Dat fiind o secvență a\_n și dacă avem o funcție f (x) astfel încât f (n) = a\_n și \ lim\_ {n \ to \ infty} f (x) = L atunci \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. Dacă \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0 atunci \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. Secvența {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty converge dacă -1 \ ler \ le1.
4. Pentru o secvență \ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, atunci a\_n este convergent cu limita L.
Sursă: Note online Pauls: Calcul II