Cel mai bun răspuns
Putem aborda acest aspect geometric. Există trei soluții, acestea sunt: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° și 1 / \_240 ° în formă polară. Trebuie să luăm în considerare domeniul numerelor complexe. (momentan nu sunt în măsură să furnizez diagrame, așa că îmi cer scuze). Folosirea unui pix și a unei hârtii în timpul citirii acestui răspuns ar fi foarte utilă.
Notă: „/ \_” reprezintă „unghi”. Unghiul este măsurat în sens invers acelor de ceasornic în raport cu axa reală pozitivă (axa x pozitivă). De asemenea, 0 ° este același cu 360 °, 720 ° și așa mai departe. Orice unghi θ este același cu θ + 360 °.
Geometric, dacă reprezentăm 1 pe un plan complex ca 1 + 0i (1,0); aceasta este egală cu 1 / \_ 0 ° sau 1 / \_360 ° în formă polară. Am putea desena un cerc de unitate cu centrul la origine 0,0. Împărțind cercul unitar de 360 ° (sau 2π radiani) în 3 părți egale, obținem cele trei rădăcini necesare.
Prima rădăcină la 1 / \_0 ° sau / \_360 °. [Dacă fac 3 rotații complete (360 °) din (1,0) în sens invers acelor de ceasornic (se înmulțește de trei ori sau în cuburi), ajung în același punct: 1 / \_0 °. Rețineți și: Dacă fac 3 „fără rotații” (0 °). Ajung și în același punct!]
Pentru celelalte două rădăcini:
- Începând de la 1 / \_0 °, dacă fac 1/3 (o treime sau 120 °) de revoluție în sens invers acelor de ceasornic (una înmulțită cu 1 / \_120 °), ajung la 1 / \_120 ° care este a doua rădăcină. Dacă fac încă două 1/3 de rotații de acolo ajung la 1 / \_360 ° adică 1 / \_ 0 ° din nou. (deci am făcut trei rotații de 1/3 sau 120 °, sau am efectuat cuburi). Prin urmare, cubul de 1 / \_120 ° este, de asemenea, 1.
- Începând de la 1 / \_0 °, dacă fac 2/3 (240 °) de revoluție, ajung la 1 / \_240 ° care este a treia rădăcină, dacă fac încă 2/3 de revoluție ajung la 1 / \_480 ° adică la 1 / \_120 ° și cu încă încă 2/3 de revoluție, ajung la 1 / \_720 ° adică înapoi la 1 / \_0 °. așa că am făcut trei rotații de 2/3 sau 240 °, sau am executat cuburi). Prin urmare, cubul de 1 / \_240 ° este și 1.
Rădăcinile sunt 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. separate de 120 ° în mod egal pe cercul unității.
Puteți converti valorile în formă dreptunghiulară și puteți vedea că răspunsurile sunt aceleași cu cele date de alții.
În general pentru a obține a n-a rădăcină, împărțim cercul unității în n părți egale sau unghiuri distanțate în mod egal de 360 / n °, iar rădăcinile se află pe limita exterioară a cercului. Deci, din moment ce 360/5 = 72 °, cele 5 rădăcini ale unității sunt: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Răspundeți
Să z astfel z ^ 3 = 1
pasul cheie, nu luați rădăcina cubică a ambelor părți, altfel veți pierde 2 rădăcini. Mai degrabă rescrieți ecuația ca:
z ^ 3-1 = 0
factorul stâng
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 are 2 rădăcini complexe:
z = -0.5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)