Cel mai bun răspuns
Rădăcina cubului 9 este 2.083 aproximativ
Pasul 1 : Găsește mai întâi partea integrală Răspunsul se află între 2 și 3, cauza 9 este între 8 (2 ^ 3) și 27 (3 ^ 3) Deci, partea integrală este 2 Pasul 2: Împarte 9 la pătratul părții integrale ( 2 ^ 2 = 4 ), care vă va oferi 2.25, Acum scade partea integrală ( 2 ) din 2.25 , care va fi 0.25 Acum împarte acest lucru la 3, ( 0,25 / 3 = 0,08333 …) Pasul 3: Adăugați acest lucru la partea integrală 2 + 0,083 … = 2,083 aproximativ
răspuns real pentru ∛9 = 2.08008382305 ( preluat de la Googel )
Răspuns
Întrebarea postată este: Ce este rădăcina cubică a −27? ”
Afișul nu a inclus în întrebarea care este contextul. Când se discută funcții de putere care sunt rădăcini, la fel cum este cazul cu multe alte funcții, funcția nu este complet definită sau exprimată fără o afirmație a domeniului și codomain al funcției. (Da, spre deosebire de ceea ce este popular să existe exerciții pentru ca elevul de algebră din liceu să găsească domeniul unei funcții care să găsească cu adevărat domeniul maxim în contextul numerelor reale , definiția și utilizarea unei funcții nu sunt complete [și adesea, ca și aici, complet inadecvate] fără a specifica domeniul intenționat (ce valori funcția va fi aplicată), codomainului (la ce valori funcția este permisă să producă) și relația cu privire la modul de tranziție de la elementele domeniului la elementele codomainului. Vom vedea în scurt timp de ce acestea sunt importante.
Rețineți că o formă nominală singulară ( rădăcină în loc de rădăcini ) și corespunzătoare formă de verb singular ( este în loc de sunt ) au fost utilizate în întrebarea postată. sunt trei numere complexe, dintre care unul este real, al cărui cub este −27. Dacă posterul dorește ca domeniul și codomainul să fie R (numere reale), atunci există o singură alegere; dacă posterul dorește ca domeniul și codomainul să fie C (numere complexe), atunci există trei posibilități dintre care posterul dorește una, pe care le-am presupune atunci pentru a fi rădăcina cubică principală.
Mai întâi, să examinăm având R ca domeniu și codomain. Dacă definim funcția: f : R → R astfel încât f ( x ) = x ³, apoi diferite valori ale x mapează la diferite valori ale f ( x ) [adică valori diferite ale x ³], ceea ce înseamnă că f este injectiv. În plus, pentru fiecare număr real y există un număr real x astfel încât x ³ = y , ceea ce înseamnă f este surjectiv. Întrucât f este atât injectiv cât și surjectiv, f este bijectiv și inversabil. Cartografierea funcției rădăcină cub R → R este inversul f (cu f denumită uneori funcția cub pe R ). Datorită bijectivității, știm că rădăcina cubică este unică. Există o singură valoare al cărei cub este −27 și acest număr este −3. Prin urmare, singura valoare care poate fi rădăcina cubică a lui −27 este −3.
În al doilea rând, să examinăm având C ca domeniul și codomainul. Dacă definim funcția: f : C → C astfel încât f ( x ) = x ³, nu mai este adevărat că f este injectiv.Pentru orice y diferit de zero, vor exista trei valori ale x care mapează y . De exemplu, f (−2) = f (1 + i√3) = f (1 – i√3) = −8. Deoarece f nu este injectiv, nu contează dacă f este surjectiv și f nu este nici bijectiv, nici inversabil. Cu toate acestea, matematicienii au dezvoltat un criteriu oarecum arbitrar, dar simplu și consecvent, pentru a determina care dintre cele trei opțiuni constituie rădăcina cubică principală a unui număr complex și aceasta este valoarea intenționată atunci când spunem „ rădăcina cub a ”[formă singulară]. Procesul este: * Care dintre cele trei opțiuni are cea mai mare parte reală? Dacă răspunsul produce o valoare unică [va produce una sau două valori], atunci acea valoare este rădăcina cubului. * Dacă răspunsul la prima întrebare nu este unic, luăm oricare dintre cele două valori obținute în prima întrebare are o parte imaginară pozitivă. Pentru −27, cele trei opțiuni sunt: −3, 1.5 + 1.5i√3 și 1.5 – 1.5i√3. Există două valori care împărtășesc rolul de cea mai mare parte reală: 1,5 + 1,5i√3 și 1,5 – 1,5i√3. Cea care are o parte imaginară pozitivă este 1,5 + 1,5i√3, deci aceasta este rădăcina cubică principală a −27 din domeniul complex.
Acum vedem importanța specificării domeniului pentru că am ajuns cu două răspunsuri diferite, unul pentru fiecare dintre cele două domenii: Rădăcina cubică a lui −27 în domeniul real este −3. Rădăcina cubică a lui −27 în domeniul complex este de 1,5 + 1,5i√3. Pare ciudat acest lucru? Nu este R ⊂ C , deci nu este numărul real −27 la fel ca număr complex −27? De ce același număr nu ar avea aceeași rădăcină cub? Lucrurile ciudate se pot întâmpla în planul complex pe care nici măcar nu le realizăm (până nu avem un curs de analiză complexă), dar de fapt au un impact chiar și atunci când sunt concentrate pe numere reale (convergența seriilor de putere pentru funcțiile cu valoare reală este afectată de localizarea singularităților în planul complex) a extensiei complexe a funcției. Funcția de rădăcină cub, coroborată cu funcția de logaritm ln, în planul complex are ceea ce se numește o tăietură de ramură care leagă punctele de ramificare la 0 și „infinit”, iar tăierea de ramură este convențională de-a lungul axei reale negative (nu vrem să au un comportament amuzant de-a lungul axei reale pozitive și nu doresc o asimetrie între semiplanul imaginar pozitiv și semiplanul imaginar negativ). Un comportament cheie al tăieturilor de ramură este o discontinuitate – valoarea unei funcții cu o tăietură de ramură are o tranziție definită la tăierea ramurii, astfel încât valoarea de pe o parte a tăieturii de ramură și valoarea chiar pe cealaltă parte a tăierea ramurilor nu se apropie una de cealaltă deoarece cele două puncte se apropie una de cealaltă. Oriunde altundeva funcția poate fi continuă. Luați, de exemplu, un cerc de rază 27 centrat la 0 în planul complex. La valoarea 27, rădăcina cubului principal este considerată 3. Urmați cercul în jurul valorii de -27 în sens invers acelor de ceasornic (prin semiplanul imaginar pozitiv) și rădăcina cubului se va schimba într-o manieră lină și continuă, ajungând la 1,5 + 1,5i √3 la −27. Dacă, în schimb, începeți de la 27 și urmați cercul în sensul acelor de ceasornic (prin semiplanul imaginar negativ), rădăcina cubului se va schimba din nou continuu până când ajungeți la 1,5 – 1,5i√3 la −27. Cele două limite care se apropie de același punct din părțile opuse ale tăieturii ramurii diferă cu 3i√3, care nu este 0. Astfel, limita rădăcinii cubice a x funcția la -27 depinde de calea luată spre -27, deci limita nu există și funcția nu poate fi continuă acolo. Rețineți că nici o limită nu este −3, valoarea rădăcinii cubice a −27 pentru domeniul R .
Ca rezultat, există câțiva matematicieni (majoritatea germani din experiența mea limitată) care nu suportă o astfel de nepotrivire, așa că ajung să considere rădăcina cubică a tuturor numerelor negative care urmează să fie nedefinită în contextul domeniului R . Majoritatea matematicienilor nu doresc să numească rădăcina cubică a unui număr negativ nedefinită în contextul domeniului R deoarece acest lucru ar încălca conceptul de bijecție fiind inversabil și funcția inversă este definită pe codomainul complet al funcției originale, plus numerele reale cu adunare, scădere, înmulțire, împărțire cu excepția cu 0 și puterile cu exponenți întregi se comportă frumos și așa cum era de așteptat atunci când sunt încorporate în C . Multe lucruri se descompun atunci când sunt implicate puteri cu exponenți care nu sunt întregi.Se aplică restricții privind legile puterilor, deoarece dacă încercați să le aplicați cu exponenți care nu sunt întregi și cu baze reale imaginare sau negative, atunci veți obține rezultate eronate. Multe întrebări Quora implică astfel de probleme. Nu vă mirați de prezența acestor probleme.