Cel mai bun răspuns
Deoarece mulți au răspuns deja corect, cosinusul infinitului nu are nicio valoare. Dar este mai rău. Este cât se poate de rău.
Funcții complexe
Funcțiile trigonometrice, inclusiv cosinusul, sunt de obicei privite ca funcții care iau ca argumente numere reale, dar pot fi extinse pentru a fi funcții complexe. Puteți face acest lucru pentru cosinus utilizând această definiție a seriei de putere
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Acest lucru face ca cosinusul să fie definit pe întregul plan complex \ mathbf C.
Prin extinzând funcțiile la argumente complexe, le puteți înțelege în moduri pe care nu le puteți face atunci când sunt folosite numai argumente reale. Aceasta este forța analizei complexe.
Numerele complexe extinse \ overline {\ mathbf C}
Luați în considerare funcție mult mai simplă f (z) = 1 / z. Este definit pentru toate numerele complexe, cu excepția z = 0. Se pare că are o valoare infinită la z = 0 și există o modalitate de a formaliza acest concept. Extindeți numerele complexe cu un element, notat \ infty pentru a obține ceea ce uneori se numește planul complex închis sau sfera Riemann, \ overline {\ mathbf C}. Cu aceasta puteți defini 1/0 = \ infty și 1 / \ infty = 0 astfel încât această funcție f (z) = 1 / z să fie definită pe toate \ overline {\ mathbf C}. De fapt, oferă o bijecție \ overline {\ mathbf C} \ to \ overline {\ mathbf C}.
Ce se întâmplă când încercați acest lucru cu funcția tangentă \ tan z? Se întâmplă niște lucruri frumoase. În timp ce pentru numerele reale, \ tan \ pi / 2 nu este definit, pentru \ overline {\ mathbf C} este definit și, de fapt, \ tan \ pi / 2 = \ infty. Singularitatea pentru \ tan z la z = \ pi / 2 este ca singularitatea pentru 1 / z la z = 0.
Aceste două funcții, 1 / z și \ tan z, au poli , adică iau valoarea \ infty. Funcția 1 / z are un pol la z = 0. Funcția \ tan z are infinit de mulți poli, unul pentru fiecare valoare a lui z egal cu \ pi / 2 plus un multiplu integral al lui \ pi.
Cosinus din \ infty
Este timpul să reveniți la \ cos \ infty.
Luați în considerare funcția f (z) = \ cos (1 / z). A cere cosinusul lui \ infty este același lucru cu a cere f (0), deoarece în \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. Spre deosebire de polii pentru funcțiile 1 / z și \ tan z menționate mai sus, această funcție are ceea ce se numește singularitate esențială. În mod arbitrar lângă z = 0, funcția f (z) = \ cos (1 / z) ia toate numerele complexe infinit de multe ori. Asta înseamnă că \ cos z are o singularitate esențială la z = \ infty. Este cât se poate de rău.
Răspuns
Nu este egal cu nimic. Cos (infinit) este nedeterminat, deoarece cosinusul sinusual și tangenta, precum și inversele (secantă, cosecantă și cotangentă), sunt derivate din cercul unitar.
cosinusul este axa x, iar sinusul este axa y. Aceasta creează un triunghi dreptunghiular. Cercul unității este centrat la origine. Și acel triunghi dreptunghic care este „creat”, lungimea picioarelor este de unde sunt derivate.
Pentru lucruri precum 390 grade, se deplasează de mai multe ori, iar unghiul este evaluat ca și cum ar fi doar a trecut de la 0 grade până la locul în care s-a încheiat, care este mai mic de 360. Acesta este practic doar modul.
Expresia care poate reprezenta acest lucru este n mod 360 (sau pentru informatică, n\% 360) n este unghiul.
Deci, pentru infinitul mod 360, nu putem avea un răspuns, deoarece infinitul este în continuă creștere. deci tehnic ar putea fi orice. Infinitul nu este număr, este un concept. Conceptul de a nu avea scop. Deci, folosirea infinitului ca număr înseamnă doar o valoare care este, într-un anumit sens, mereu în creștere. Acest lucru îl simplifică un pic, deoarece nu crește cu adevărat, este mai mult ca presupunând că există un sfârșit atunci când nu există, lista numerelor nu are sfârșit. Valoarea sa este nelimitată. Acesta este motivul pentru care folosim limite atunci când avem de-a face cu infinitul. Deși infinitul ca număr folosește practic limite, nu putem spune că 1 / infinitul este zero, deoarece infinitul crește constant în valoare, nu ne întreabă la ce converge. Deși converge la zero, nu va fi niciodată zero. Cel mai aproape de zero va fi vreodată de la 1 la 0,999 …, care, deși s-a spus că 0,999 este egal cu 1, nu este. În mod logic, nu este și nu poate fi. Dacă acceptăm asta, atunci putem spune la fel de ușor că 1 = 2 și orice n este egal cu orice m (n = m).
Înapoi la întrebarea inițială, dacă te uiți la un grafic pentru cos (x), veți vedea că oscilează în sus și în jos continuu, trecând de la 1 la -1. Deci, pe măsură ce merge la infinit, nu va converge niciodată, iar cos (infinitul) va comuta întotdeauna între 1 și -1. Alegerea oricărei valori între acestea nu va fi infinit, deoarece crește mereu în valoare.
Deci, în concluzie, cos (infinitul) este nedeterminat.