Cel mai bun răspuns
Puteți încerca întotdeauna să calculați câțiva exponenți mai mici și să găsiți un model care se repetă pentru resturile . Să calculăm restul de 2 ^ n împărțit la 18, începând cu n = 1:
- n = 1, 2 ^ 1 = 2, restul este 2;
- n = 2, 2 ^ 2 = 4, restul este 4;
- n = 3, 2 ^ 3 = 8, restul este 8;
- n = 4, 2 ^ 4 = 16 , restul este 16;
- n = 5, 2 ^ 5 = 32, restul este 14;
- n = 6, 2 ^ 6 = 64, restul este 10;
- n = 7, 2 ^ 7 = 128, restul este 2;
- n = 8, 2 ^ 8 = 256, restul este 4;
- \ cdots \ cdots
De fapt, când exponenții devin mai mari, nu este nevoie să calculați puterile reale de 2; în schimb, trebuie doar să multiplicați restul anterior cu 2, apoi să găsiți noul rest din acel rezultat. Este clar că restul se repetă la fiecare 6 numere. Deci, pentru exponentul 200, aflăm restul când 200 este împărțit la 6, adică 2. Prin urmare, restul când 2 ^ {200} este împărțit la 18 este același cu restul pentru 2 ^ 2, care este egal cu 4.
Răspuns
2 ^ 4 \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implică (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv (-2 ) ^ 5 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv -32 \ pmod {18}
\ implică 2 ^ {20} \ equiv 4 \ pmod {18}
\ implies (2 ^ {20}) ^ 5 \ equiv 4 ^ 5 \ pmod {18}
\ implies (2 ^ {100}) \ echiv 1024 \ pmod {18}
\ implies (2 ^ {100}) \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implies (2 ^ {200}) \ equiv (-2) ^ 2 \ pmod {18}
\ implică (2 ^ {200}) \ equiv 4 \ pmod {18}
\ text {Prin urmare, 4 este restul când} \, 2 ^ {200} \, \ text {este împărțit la 18}