Cel mai bun răspuns
Pur și simplu, Invariant este o proprietate care nu se schimbă nici după o transformare sau orice operație matematică. Un exemplu foarte bun este dat în Wikipedia-
Luați cazul legii gravitaționale a lui Newton. Forța gravitațională dintre două corpuri va fi aceeași oriunde în univers. Forța gravitațională dintre aceste două corpuri va fi aceeași astăzi ca acum o mie de ani. Indiferent de direcția în care mutați aceste corpuri, forța este aceeași. Acesta este un exemplu de invariant.
Invarianții de stres sunt proprietățile unei matrice de stres care nu sunt afectate de transformare. Starea de stres poate fi reprezentată în termeni de matrice. Componenta de tensiune hidrostatică a acestei matrice ar fi egală cu media termenilor diagonali ai matricei (tensiuni principale). Sumarea acestor termeni diagonali este ceea ce se numește Primul Invariant (numit și Urma Matricei).
Deci, putem împărți o stare matricială ca Sumare a hidrostaticului și a deviatorului tensiuni-
Pentru determinarea valorilor Eigen și a vectorilor Eigen, folosim ecuația | A – Lamda I | * V = 0. În mod similar, pentru o stare de solicitare, folosim următoarea ecuație, care este similară formei de mai sus-
nj = vector Eigen, Sigma = valoare Eigen, delta ij = Matricea identității numită și Delta Kronecker. Această matrice de identitate = 1 în poziția diagonalelor unde i = j și este egal cu 0 în toate celelalte locuri.
Acum, putem stabili următoarea formă
Dacă vă amintiți corect, aceasta este componenta deviatorică a matricei de solicitări. Din ecuația caracteristică de mai jos, putem vedea că invarianții sunt coeficienții termenilor de stres din ecuația caracteristică.
Unde, I1, I2 și I3 sunt invarianții matricei de stres.
a. I1 este urma matricei și este însumarea termenilor diagonali. Primul Invariant.
b. I2 este însumarea minorilor matricei. Al doilea Invariant.
c. I3 = Valoarea determinantului matricei. Al treilea invariant.
T acestea sunt toate invariante deoarece, în ciuda transformării efectuate pe matrice, aceste valori vor rămâne aceleași.
În pașii de mai sus, am stabilit matricea deviatorică și ne-am dat seama că este J1 și acest J1 sa dovedit a fi egal cu 0. Când J1 = 0, atunci suma termenilor diagonali = 0. Deci media acestui (numit și ca tensiune hidrostatică = 0. Deci, tensiunea hidrostatică a componentei deviatorice este egală cu 0, ceea ce înseamnă că este o stare de TĂIERĂ PURĂ.
Tensiunea deviatorică și invarianți
Răspuns
Stresul este de obicei reprezentat ca un tensor simetric de ordinul doi, care poate fi gândit ca o matrice 3 * 3. Acum, orice tensor are ceva numit invarianții care nu se schimbă odată cu schimbarea bazei. Există trei invarianți de principiu pentru un al doilea sau tensor de ordine (stresul, deformarea, momentul de inerție intră în acest domeniu). Acestea rămân aceleași chiar dacă b asis este schimbat. Pentru a înțelege ce înțelegem prin schimbare de bază, gândiți-vă la o rezistență elementară a problemei materiale, în care încercăm să găsim tensiunile rezultante normale și de forfecare pe un plan înclinat către setul dat de axe de coordonate (baza noastră). Putem face toate cercurile lui Mohr și găsim componentele de solicitare de-a lungul noii baze (noi axe de coordonate care sunt de-a lungul și perpendiculare pe înclinație). Deci, dacă luați în considerare tensorul de solicitare anterior și acum, s-a schimbat element cu element (ambele sunt simetrice), dar următoarele cantități rămân aceleași
- Urmă a matricelor
- Urmă a cofactorului matricilor
- Determinant al matricelor.
Acestea sunt trei „invarianți” principali.