Cel mai bun răspuns
Există 2 răspunsuri pe care le putem găsi aici pentru această întrebare.
- -1/12
- Infinity
În mod clar \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n divergențe. Dar atunci de ce unii oameni răspund la -1/12? Pentru că ambele sunt corecte.
Acesta este unul dintre cele mai simple exemple de concept crucial în înțelegerea teoriilor fizice, regularizare. Numărul -1/12, aparent absurd, deține o interpretare fizică în așa-numita energie Casimir.
Adesea, atunci când încercăm să calculăm mărimi fizice în teoriile cuantice, obținem infinit. În acel moment putem arunca răspunsul, dar acest lucru nu ne va duce nicăieri. Alternativ, putem încerca să-i dăm sens. Pentru a face acest lucru, încercăm să extragem un răspuns finit din infinit. Acest proces se numește regularizare. Ar putea exista multe modalități de regularizare sistematică a unei serii divergente (sau integrale), dar punctul important este că toate aceste metode ar da același rezultat finit. În special, suma de mai sus ne-ar da întotdeauna -1/12. Acest lucru în sine sugerează că -1/12 nu este total absurd.
Următoarea discuție este derivată în principal din Secțiunea 4.1 din Birrel și Davies – Câmpuri cuantice în spațiul curbat. Voi prezenta esența discuției.
Să presupunem că luăm în considerare un câmp scalar fără masă în 2 dimensiuni (o direcție de timp și un spațiu). Un câmp scalar fără masă seamănă foarte mult cu câmpul electromagnetic, dar mult mai simplu. De asemenea, să restricționăm câmpul scalar pe un cerc de circumferință L. Acum am definit un sistem cuantic și putem încerca să calculăm diferite cantități, inclusiv energia minimă / de bază a acestui sistem. Energia stării fundamentale se dovedește a fi E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Acum putem regulariza această integrală și obținem E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Punctul important este că exact asta vom obține dacă încercăm să calculăm diferența dintre energia de bază a acestui sistem și un alt sistem similar în care câmpul scalar este restricționat pe o linie de lungime infinită (care ia în esență circumferința cercul să fie infinit). În mod clar, această energie regularizată este o cantitate fizică și, de fapt, poate fi măsurată în laborator.
Concluzionăm că afirmația \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 nu este nul.
Editați:
Următoarea este o modalitate prin care putem regulariza suma.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
Limita de mai sus diferă, așa cum era de așteptat , dar poate fi scris după cum urmează
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Acesta este modul în care preluăm o parte finită regularizată din însumarea divergentă. Modul de regularizare a sumei nu este nicidecum unic, dar partea finită a sumei este întotdeauna -1/12.
Răspuns
Ce înțelegem prin „este” sau „Egalitate”? Aceasta este întrebarea care stă la baza confuziei cu privire la suma tuturor numerelor naturale.
Sume finite
„nu aveți o problemă cu sumele finite:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
este perfect bine definit pentru orice secvență a\_i \ in \ mathbb R. Datorită comutativității și asociativității adunării, nici măcar nu depinde de ordinea a\_i: puteți amesteca secvența în orice permutare fără a afecta rezultatul.
Seria infinită
Când ajungem la secvențe infinite, (a\_i), totuși, ce înseamnă suma infinită? Ce este ?
Cel mai simplu, mai sigur și implicit sensul este o limită a sumelor finite. Aceasta este definiția unei sume infinite este
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Când această serie converge absolut totul este în regulă și dandy. Puteți:
- să vă bazați pe rezultat;
- amestecați ordinea termenilor;
- adăugați sau scădeți două astfel de serii; și chiar
- comutați ordinea a două însumări imbricate.
Dar dacă seria este divergentă sau numai convergent condiționat valoarea:
- este posibil să nu existe;
- poate depinde de ordine; sau
- ar putea necesita „metode fanteziste” pentru a defini
și nu puteți nici manipula termenii secvența și nici nu adaugă / scade două astfel de secvențe.
Acesta este cazul cu suma numerelor naturale în care
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Acest lucru diferă în mod clar de + \ infty ca n \ to \ infty, deci valoarea standard implicită nu există. Și asta este în măsura în care ar trebui să meargă majoritatea oamenilor.
Metode fanteziste
Dacă nu mergeți pe deplin intim, înțelegeți semnificația exactă a tuturor celor de deasupra dvs., cu siguranță nu treceți la „metode fanteziste”. În mod egal, ar trebui să tratați pe oricine manipulează secvențe care nu sunt absolut convergente ca și cum ar împărți la zero: rezultatele sunt la fel de fiabile.
Există o serie infinită perfect respectabilă numită Seria Dirichlet :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Dacă (a\_n) sunt delimitate, această serie converge absolut pentru orice s \ in \ mathbb C a cărui parte Reală este strict mai mare decât una, \ Re (s)> 1. Pentru \ Re (s) \ leq1 suntem pe un teren mai puțin solid …
Continuare analitică
Din moment ce f ( s) este o funcție analitică definită pe jumătatea planului deschis cu \ Re (s)> 1 are un continuare analitică la restul planului complex. Continuarea când toate a\_n sunt una, f\_1 (s), este funcția Riemann Zeta :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
\ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x este funcția Gamma , o extensie analitică a funcției Factoriale.
Pentru \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
Pentru s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb nu converge
Dacă acum doriți să faceți ceva numit regularizarea funcției zeta , ar putea afirma
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
dar rețineți că vă jucați cu ce înseamnă „egalitate” și ce „este” o însumare.
Totul este în regulă, dar dacă ați ajuns până aici, veți observa cât de mult trebuie să știi să înțelegi ce faci. Mult mai mult decât obțineți de obicei la un videoclip Numberphile …