Cel mai bun răspuns
„Suma tuturor numerelor reale” nu este definită în matematica convențională și nu sunt sigur că ar putea fi definit fără a provoca probleme serioase.
Prima problemă este că setul tuturor numerelor reale este un set de nenumărat, adică nu poate fi pus într-o relație unu-la-unu cu numărarea numere (adică 1, 2, 3, 4 etc.) Nu există o definiție convențională a sumei membrilor unui set nenumărat, dar există a sumei membrilor unor mulțimi numărabile.
Să presupunem că aveți un set contabil {x1, x2, x3,…. xn, …}. Puteți defini o sumă parțială Sn = x1 + x2 + x3 + … + xn, adică suma primilor n termeni. Pentru a vă asigura că nimic nu merge prost dacă reordonați setul, puteți defini o sumă parțială pozitivă Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Dacă limita (așa cum n merge la infinit) a seriei Pn există, atunci există și limita seriei Sn (dar nu este aceeași cu limita lui Pn, cu excepția cazului în care toate xn sunt non-negative). Asta înseamnă că puteți spune că suma tuturor numerelor din setul nostru care poate fi numărat este limita seriei Sn.
Deci, dacă setul este {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, aveți o serie frumos convergentă, iar suma membrilor setului este 1. Cu toate acestea, dacă aveți toate numerele întregi (negativ la anunț pozitiv), aveți un set numeros {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, dar sumele parțiale nu converg – ele sunt 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Această lipsă de convergență a numerelor întregi apare în ciuda faptului că fiecare număr întreg pozitiv n are un întreg negativ corespunzător, deci ați crede că se anulează. Cu toate acestea, acestea nu se anulează la fiecare sumă parțială alternativă și nu s-ar anula dacă ați lua setul într-o ordine diferită, de exemplu. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2, …}.
Numerele reale sunt mai rele, deoarece nu există o definiție a unei sume a setului, dat fiind că este de nenumărat și chiar dacă ar exista unul, schimbarea ordinii în care le-ați luat ar da un rezultat diferit, chiar dacă pentru fiecare număr real pozitiv există un număr real negativ corespunzător.
Răspuns
Să o rezolvăm folosind teoria grupului.
Fie G (\ mathbb {R}, +) un .
Are identitate aditivă adică 0 și inversul aditiv \ forall a \ în G, este -a.
Acum adăugând toate elementele acestui grup, avem perechi de număr și invers se anulează reciproc.
\ sum\_ {a \ în G} a
= \ sum\_ {a \ in G ^ +} + \ sum\_ {a \ in G ^ -} + 0, Putem scrie acest lucru din cauza proprietății comutative și asociative a acestui grup special.
Am împărțit setul \ mathbb {R} în \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} și element de identitate.
Să scriem expresia de mai sus ca
= X + Y + 0
Ca 0 este identitate deci,
expresia de mai sus oferă
= X + Y
Acum, \ forall a \ în X, a ^ {- 1} \ in Y
\ implică X = Y ^ {- 1}
\ implică Y = -X
\ implică X + Y = element de identitate al G = 0.
Prin urmare, suma tuturor numerelor reale este zero.