Cel mai bun răspuns
Un tensor contravariant de rangul 2 este simetric dacă este invariant sub permutarea indicilor săi. Componentele sale nu se schimbă la schimbul de indici și îndeplinesc următoarele:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
În mod similar, un tensor covariant de rangul 2 este simetric dacă este invariant sub permutarea indicilor săi și componentele sale îndeplinesc următoarele:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Tensorii de rangul 2 pot fi de obicei reprezentați prin matrice , deci simetria unui tensor este în esență legată de simetria matricei care o reprezintă. Se știe că, dacă intrările unei matrice simetrice (pătrate) sunt exprimate ca A = (a\_ {pq}), atunci a\_ {pq} = a\_ {qp} pentru toți indicii p și q. Matricea simetrică este egală cu transpunerea sa ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Exemple de tensori simetrici de rangul doi includ tensorul metric g \_ {\ mu \ nu} , sau tensorul de stres Cauchy ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}) care poate fi scris sub formă de matrice ca:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrice} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Dacă, de exemplu, avem un tensor de rang superior al formei
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
se spune că tensorul este simetric în m și p.
Un tensor care este simetric față de oricare două contravariante și orice se spune că doi indici covarianți sunt simetrici.
Un tensor se numește înclinat-simetric sau antisimetric dacă
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
În cazul general, un tensor simetric este un tensor invariant sub o permutare a argumentelor sale vectoriale:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
pentru fiecare permutare σ dintre simbolurile {1, 2, …, r }. Alternativ, un tensor simetric de ordine sau rang r reprezentat în coordonate ca o cantitate cu r indici satisface
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Răspuns
Matricele sunt tablouri dreptunghiulare de elemente dintr-un câmp (de obicei \ mathbb {R} sau \ mathbb {C}, dar nu întotdeauna) care au un operația de înmulțire cu o altă matrice și înmulțirea cu un element de câmp definit.
Matricile sunt utilizate pentru a reprezenta un număr mare de lucruri diferite:
- coeficienți de ecuații liniare
- transformări liniare (dat un anumit set ordonat de vectori de bază)
- schimbarea bazei de spații vectoriale (dat două seturi ordonate de vectori de bază)
- tensori (în mod specific ordinul 2 tensori)
- anumite grupuri
- etc. etc.
Unele dintre aceste utilizări se pot confunda: dat o matrice pătrată nesingulară fără context, este imposibil să spunem că o analizăm dacă reprezintă o transformare liniară (sau în ce bază este), o schimbare de bază sau un tensor.
Pe scurt, matricile sunt foarte generale.
Tensorii sunt funcționale multiliniare pe vectori și funcționale (vectori duali). Cu alte cuvinte, un tensor de ordine n + m este o funcție pe n vectori și m vectori duali care returnează un număr real sau complex și este liniar pe toate argumentele sale.
Tensorii pe spații vectoriale cu dimensiuni finite poate fi reprezentat printr-o matrice n + m-dimensională de elemente din câmpul spațiului vectorial, iar pentru ordinea 2 tensori aceasta este adesea reprezentată ca o matrice. La fel ca reprezentarea matricială a transformărilor liniare, reprezentarea matricială multidimensională a unui tensor depinde de baza utilizată.
Tensorii sunt adesea descriși, folosiți și uneori chiar definit în termeni de matrici multidimensionale de elemente de câmp, sub rezerva restricționării modului în care tensorul se transformă în ceea ce privește modificările diferențiale în vectorii de bază. Dar la baza lor, ele sunt funcționale multiliniare pe vectori și funcționale liniare.