Cel mai bun răspuns
T\_n (x), al n-lea polinom Chebyshev de primul fel, satisface
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Suntem după T\_ {10} (x). Știm primele câteva:
T\_0 (x) = 1 \ quad deoarece \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad deoarece \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad deoarece \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad deoarece \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Putem calcula cu ușurință puterile a două,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
În general T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)) care urmează destul de repede din \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
T\_n (x) satisfac recurența
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Deoarece T\_0 (x) și T\_1 (x) au coeficienți întregi, recurența ne spune că toți T\_n (x) au coeficienți întregi.
Să derivăm recurența . Începem prin a demonstra o identitate trig, o formulă alternativă a unghiului de sumă care utilizează numai cosinusul:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Acum,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
sau leasing x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Acum putem calcula T\_ {10} (x) destul de ușor,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Deci vom obține în cele din urmă răspunsul nostru,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Răspunde
Să x = theta pentru a-mi ușura tastarea.
Amintiți-vă că multiplicarea este repetată d adiție.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
O modalitate de a găsi cos (10x) este să aplicați identitate pentru cosinusul sumei a două unghiuri de 9 ori, împreună cu identitatea similară pentru sinus.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Acum înlocuiți 9x cu 8x + x
și apoi aplicați cu grijă identitățile din nou fără a pierde cos (x) și sin (x) deja în problemă.
Apoi, oriunde vedeți 8x, înlocuiți-l cu 7x + x și aplicați din nou identitățile.
Continuați … ..
S-ar putea să doriți să mergeți mai departe mai degrabă decât în jos.
Găsiți cos (3x), apoi cos (4x) etc.
În timp ce lucrați, întrebați-vă dacă ar putea exista o cale mai rapidă.
Odată ce avem o formulă pentru
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
ați putea încerca să vă gândiți
la cos (4x) ca cos (2x + 2x)
și cos (8x ) ca cos (4x + 4x).
Atunci cos (10x) ca cos (8x) + cos (2x).
De asemenea, dorim să simplificăm rezultatul pentru cos (2x) și, eventual, să folosim o identitate pitagorică pentru a păstra problema în termeni de numai cosinus fără niciun sinus în rezultat.