Cel mai bun răspuns
Știu ce solicitați, dar vă rog să aflați convențiile de scriere. Ar trebui să fie scris cos (1/2).
Pentru a răspunde la întrebarea dvs., va trebui să utilizați un calculator aici. Nu există nicio modalitate de a putea calcula acest lucru manual. Un alt lucru este valoarea în radian sau grade. Le voi da pe amândouă aici. Este 0,99996 în grade și 0,8775 în radiani.
Răspuns
Câțiva oameni se supără când cineva susține că 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Nu sunt unul dintre acei oameni, dar cred că, dacă începeți să faceți o astfel de afirmație, ar trebui să aveți foarte clar în minte ce este că vrei să spui.
De obicei, când definești o sumă infinită de elemente a\_n, o definești ca:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Dacă limita există și are o valoare finită, spunem că suma infinită converge și spunem că este egală cu limita menționată. Astfel, de exemplu:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Există, totuși, o mulțime de sume infinite care divergă și nu le atribuim în mod obișnuit o valoare. Un exemplu din aceasta:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {nu există.}
Se poate, de asemenea, verificați dacă:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
care nu converge — astfel, seria 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots este divergent, deci definiția obișnuită a limitei nu îi atribuie o valoare.
Cu toate acestea, există căi poate extinde această definiție. Adică, puteți veni cu modalități de a atribui o valoare finită seriilor divergente care sunt încă de acord cu valorile obținute în mod obișnuit pentru seriile convergente.
Problema este că, deoarece aceste metode, prin însăși natura lor, nu corespund cu nimic fizic *, deci cel mai bun lucru pe care îl putem spera este că astfel de metode au proprietăți formale frumoase. În special, am dori să solicităm să îndeplinească următoarele axiome:
1.) (Regularitate) Dacă \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n este convergent, atunci metoda însumării este de acord cu metoda obișnuită de a lua limita.
2.) (Liniaritate) Dacă \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A și \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B sunt sumabile , atunci avem \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Dacă r este un număr real, atunci \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabilitate) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Aceste axiome sunt destul de utile. De exemplu, afișați decât orice metodă de însumare care satisface aceste trei axiome trebuie să evalueze 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, deoarece:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Observați că atât liniaritatea, cât și stabilitatea joacă un rol important în această dovadă. Stabilitatea ne permite să „scoatem” 1 din față, iar liniaritatea ne permite să factorizăm 2.
Orice astfel de metodă de însumare trebuie să evalueze și 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. Dovada este similară:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Cu toate acestea, vor exista serii divergente care nu pot fi evaluate prin nicio metodă de însumare care să satisfacă aceste trei axiome. De exemplu, să presupunem că am putea atribui o valoare finită s seriei 1 + 1 + 1 + \ ldots. Apoi am avea:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Hopa. Din păcate, devine și mai rău, deoarece rezultă că nici o metodă de însumare care să satisfacă aceste trei axiome nu poate evalua nici 1 + 2 + 3 + \ ldots, deoarece:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (prin stabilitate) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (prin liniaritate)
Deci, dacă doriți să definiți o metodă de însumare care evaluează 1 + 2 + 3 + \ ldots, fie trebuie să aruncați liniaritatea, fie stabilitatea. Există abordări diferite – unii sacrifică una, alții o sacrifică pe cealaltă.
Din păcate, aceasta indică modul în care merge sumarea seriilor divergente: aveți multe metode diferite de a le însuma și ele nu întotdeauna de acord. Adesea sunt de acord pentru serii importante, dar dacă afirmați ceva de genul 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, ar fi bine să indicați absolut clar ce metodă de însumare folosiți.
Ca teoretician al numerelor, abordarea mea preferată este regularizarea funcției zeta. Exemplul de bază al acestui lucru este următorul: luați în considerare funcția zeta Riemann \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Această formulă este convergent numai dacă partea reală a lui s este mai mare de 1.Cu toate acestea, există o modalitate standard de a extinde funcția zeta Riemann pentru a fi o funcție pe întregul plan complex (ei bine, aveți câțiva poli, dar, deși acest lucru este important, este o problemă tehnică) — aceasta se numește analitică continuare, pe care o obțineți în mod explicit găsind o ecuație funcțională pentru funcția zeta.
Folosind continuarea analitică, găsiți că \ zeta (-1) = -1/12. Dar, dacă „conectați asta” la expresia originală a funcției zeta, veți obține:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Așa funcționează regularizarea funcției zeta: asociați o funcție zeta seriei dvs. , și apoi folosiți continuarea analitică pentru a asocia o valoare finită seriei.
Acesta este, în multe privințe, un joc formal care, deși este interesant, nu ar trebui probabil să fie considerat a corespunde cu ceva tangibil.
* Da, sunt conștient de faptul că seriile și integralele divergente se folosesc în calcule în teoria câmpului cuantic. Cu toate acestea, aș argumenta că astfel de metode sunt un instrument de calcul mai mult decât o interpretare fizică a ceea ce se întâmplă de fapt. În plus, nu avem în acest moment un model matematic riguros al teoriei cuantice a câmpului, astfel încât orice himeră ciudată care nu ar trebui să fie poate fi reinterpretată sau eliminată în totalitate.