Cel mai bun răspuns
Întrebarea pe care o puneți nu are sens. Presupun că este cos (20 °).
Știm ce este cos (60 °), iar lucrul bun este 60 ° = 3 * 20 °.
Știm cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Puneți θ = 20 °, în identitatea de mai sus și presupunând t = cos (20 °) avem
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
Fie p (t) = 8 * t ^ 3-6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1 și p (1) = 1, înseamnă că p are trei rădăcini reale dintre care doar unul este pozitiv (care se află între 0 și 1).
După cum știm cos (20 °) este un număr pozitiv, atunci rădăcina pozitivă a polinomului de mai sus este valoarea cos (20 °).
O anumită estimare utilizând metoda de bisecție cu iterație 2-3 vă va da 0,94.
Deci cos (20 °) = 0,94 (aproximativ)
Răspuns
Ar trebui să îl puteți găsi folosind identitatea trig: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Presupun că acest lucru este derivat din identitatea: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), dar folosit de două ori. Pentru a fi sincer, l-am căutat. )
Acum că știm acest lucru, faceți x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Apoi faceți două substituții. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} și y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3y – 4y ^ { 3}
Și apoi cu o anumită manipulare:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Tot ce rămâne este să rezolvați pentru y. Rezolvarea manuală a cubicilor este o durere , dar vă voi arăta aici: Cum pot rezolva o ecuație de gradul trei? Apoi, îmi voi flutura puțin mâinile și o voi rezolva aici: Motor de cunoaștere a calculului
Obțineți 3 soluții. Unul negativ (nu este corect) celelalte două sunt aproximativ .34 și .64.
Care este acesta? sin (30) = .5, și pentru că știm că funcția sinusurilor crește până la 90 de grade, soluția este de aproximativ .34.
Deci, care este soluția exactă? Conform Wolfram Alpha:
Acest lucru ar trebui să producă un număr real, dar nu sunt pe cale să vă simplific mizeria pentru dvs. .
Este suficient să spunem că se poate face, dar în mod surprinzător este o durere de cap uriașă.