Cel mai bun răspuns
Pe cercul unității coordonata x este cos (x).
Luați limita pe măsură ce x se apropie de 90 de grade. Ceea ce vedeți este că coordonata x se apropie de 0 deoarece raza se apropie de o linie perpendiculară (deci nu există o componentă x)
Luați limita stânga și este la fel.
Triunghiul, desigur, se descompune.
Iată o imagine pentru ajutor:
După cum vedeți, linia gri (cosx) devine din ce în ce mai mică.
Asta este. Cos (90) este 0. Asta este 90 fiind grade și nu radiani.
Dacă în radiani, este ceva de genul −0.448073616129.
Răspunde
Permiteți-mi să vă ofer un complex mai răspuns.
Să, \ frac {A} {2} = x.
Deci, A = 2x
Avem,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Să luăm formula „Eulers”,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Dacă ne amintim această formulă, atunci putem înțelege asta,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), deoarece doar \ sin este o funcție ciudată, f (-x) = – f ( x), și \ cos este egal, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Deci, ajungem cu formula.
De asemenea, pentru \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Unde i este unitatea imaginară . (i ^ 2 = -1)
Acum, permite doar pe de rost formula pentru \ cos (2x), (prin plugin de x cu 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Să începem să derivăm formula noastră.
Începând cu \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Extindem, obținem,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Acum, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ ori a ^ c = a ^ {b + c},
(Deci, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Acum, să calculăm \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Dacă scădem \ sin ^ 2 (\ theta) din \ cos ^ 2 (\ theta), obținem,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Anulăm minusurile, în numitorul \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Adunând, putem anula -2 + 2 la 0, după care primim,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
care este aceeași formulă pentru \ cos (2x) așa cum am discutat anterior. Prin urmare, s-a dovedit.
Dar, mai avem de făcut. Plugin, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
care este aceeași formulă pentru cos (A)
Deci, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Mulțumim pentru A2A