Cel mai bun răspuns
Este tentant să scrii
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Apoi am putea scrie
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Asta face suma:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Nu-mi place atât de mult pentru câteva motive. Mai întâi ignoră întrebarea câte valori are \ sqrt {i}.
Am definit radicalul aplicat unui număr real ca valoare principală, deci y = \ sqrt {x} este o funcție . Valoarea principală a unei rădăcini pătrate complexe este mai complexă (o regulă ca cel mai mic unghi non-negativ) și nu funcționează atât de bine. . \ sqrt {i} este multivalorat, la fel ca i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
A doua problemă pe care o am cu formularea exponențială este saltul imediat la coordonatele polare. Luăm automat un traseu sinuos care implică funcții transcendentale și inversele acestora. Rădăcina pătrată a unui număr complex nu necesită acest lucru. Putem verifica
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
unde avem nevoie de un \ textrm non-standard {sgn} (0) = + 1.
Avem a = 0, b = 1 astfel
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Nu sunt necesare funcții trig. În mod similar, a = 0, b = -1 dă
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
Suma pare să aibă patru valori posibile:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Să stabilim valorile parantetice.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
deci avem într-adevăr patru valori, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Putem scrie acest lucru ca
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad pentru numărul întreg k
Există o altă problemă de luat în considerare. Uneori, atunci când scriem expresii care par a fi conjugate, înseamnă că atunci când sunt luate în considerare valori multiple, relația conjugată este menținută. Un exemplu este cubul deprimat:
x ^ 3 + 3px = 2q are solutions
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Fiecare dintre aceste rădăcini cubice are trei valori peste numerele complexe. Dar cubul în sine are doar trei soluții. Așadar, deși am putea fi tentați să interpretăm această expresie ca nouă valori diferite, știm că trebuie să fie doar trei. Cele două rădăcini cubice sunt menite să fie conjugate, deci trebuie să fie împerecheate ca atare.
În această interpretare adăugăm întotdeauna conjugate, astfel încât să obținem doar soluțiile reale:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} sau (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } care este \ pm \ sqrt {2}.
În cele din urmă, dacă interpretăm radicalul ca valoare principală, obținem \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} în primul cadran și trebuie să alegem între al doilea și al patrulea cadran pentru valoarea principală a \ sqrt {-i}. Regula „unghiului cel mai puțin pozitiv” sugerează al doilea cadran, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} deci
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Un pic de mizerie, toate aceste interpretări diferite.
Răspuns
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {și} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega este a treia rădăcină a unității: z ^ 3 = 1.
Rădăcinile acestei ecuații sunt: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Avem: u ^ 3 = 2 + 2i și (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Deci:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ if u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ if \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ if \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {cu} \; k \ în {0,1 , 2}
\\\ if u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {cu} \; k \ în {0,1,2}
Deci:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Obținem:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3