Cel mai bun răspuns
Dacă nu trolați, atunci presupun că doriți valoarea exactă a \ sin 38. (De ce? Cine știe.) Voi descrie cum să ajung la acea valoare exactă. Folosim două afirmații. Dacă cunoaștem valoarea exactă a \ sin x, atunci putem calcula valoarea exactă a \ sin nx pentru toate numerele întregi n. De asemenea, dacă cunoaștem valoarea exactă a \ sin x, atunci putem calcula valoarea exactă a \ sin \ frac {x} {3}.
Cele de mai sus înseamnă că, ar fi să găsim \ sin 1, atunci am putea găsi \ sin N pentru orice număr întreg N.
Deci demonstrăm afirmațiile:
Aserțiunea 1 : Dacă cunoaștem valoarea exactă a \ sin x, atunci putem găsi valoarea exactă a \ sin nx, pentru întregul pozitiv n. (Urmează valorile negative).
Dovadă : Folosim inducția pe n. Evident, afirmația este adevărată pentru n = 1. Înainte de a continua, rețineți că cunoașterea \ sinx implică cunoașterea lui \ cos x. Acum, \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x și am terminat.
Aserțiunea 2 : Dacă cunoaștem valoarea exactă a \ sin x, atunci putem găsi valoarea exactă a \ sin \ frac {x} {3}.
Dovadă : Aceasta este mai interesantă. Pentru argument, să \ sin \ frac {x} {3} = a. Acum \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} sau 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0 unde știm \ sin x. Deoarece acesta este un cub, poate fi rezolvat exact.
Știm \ sin 36 și \ sin 30, deci știm \ sin 6 și, prin urmare, \ sin 3 și, în final, \ sin 1.
Răspuns
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0.2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1-2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) -0.2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2)
S0 merge.