Cel mai bun răspuns
Dacă nu dorim să folosim tabelele trigonometrice, putem obține o valoare aproximativă de \ tan 27 ^ o utilizând expansiunea Taylor a lui \ tan x.
Seria Taylor a unei funcții reale sau complexe f (x), care este infinit diferențiată la un număr real sau complex a, este dată de
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, unde f ^ {(n)} (a) este valoarea derivatei n ^ {th} la x = a.
Rețineți că unghiul trebuie exprimat în radiani.
Fie f (x) = \ tan x și a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radiani.
\ Rightarrow \ qquad f „(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3} și,
\ qquad f „” (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Vrem valoarea lui \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Apoi, folosind doar primii doi termeni din seria Taylor, obținem ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f „(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0,507537.
Eroarea acestei valori este -0,3902 \\%.
Folosind doar primii trei termeni din seria Taylor, obținem,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f „(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f „” (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592.
Eroarea acestei valori este -0.1831 \\%.
Dacă dorim o precizie mai mare, putem folosi mai mulți termeni.