Cel mai bun răspuns
Dacă încerc să introduc acest lucru în calculatorul meu, voi primi ceva în notație științifică, deoarece răspunsul este prea mare pentru ca calculatorul să fie afișat. În termeni practici, calculatorul îmi va arăta începutul numărului și „îmi pasă doar de sfârșitul numărului.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Știu că un număr obține un zero la sfârșitul acestuia dacă numărul are 10 ca factor. De exemplu, 10 este un factor de 50, 120 și 1234567890. Așadar, trebuie să aflu cum de câte ori 10 este un factor în extinderea de 200 !.
Dar de 5 × 2 = 10, trebuie să iau în considerare toate produsele de la 5 și 2. Privind factorii din extinderea de mai sus, există mult mai multe numere care sunt multipli de
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
decât sunt multipli de
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Adică, dacă iau toate numerele cu 5 ca factor, voi avea mult mai mult decât suficiente numere pare pentru a le asocia cu ele pentru a obține factori de 10 (și un alt zero final pe factorialul meu). Deci, pentru a găsi numărul de 10 ori este un factor, tot ce trebuie să îmi fac griji este de câte ori 5 este un factor în toate numerele cuprinse între 1 și 200.
Bine, câte multipli ai 5 există în numerele de la 1 la 200? Există 5, 10, 15, 20, 25, …
Oh, naiba; să facem acest lucru pe drumul scurt: 200 ÷ 5 = 40 , deci există patruzeci de multipli de 5 între 1 și 200.
Deci, răspunsul său va fi 40 .
Dar așteptați: 25 este 5 × 5, deci fiecare multiplu de 25 are un factor suplimentar din 5 de care trebuie să dau cont. Câți multipli de 25 sunt între 1 și 200?
Deoarece 200 ÷ 25 = 8 , există opt multipli de 25 între 1 și 200.
Și așteptați un minut, există și 125, care este 5x5x5. Deci, trebuie să adăugăm 1 la numărul de zerouri.
Deci, acum numărul total de zerouri este = 40 + 8 + 1, înseamnă 49.
Deci, în 200! există 49 de zerouri finale. Și nu o verificați cu ajutorul calculatorului, deoarece calculatorul nu poate face acest lucru.
Răspundeți
Zerourile finale sunt o secvență de 0 „în reprezentarea zecimală a unui număr, după pe care nu le urmează alte cifre. Poate fi rezolvat în două moduri –
- Să vedem cum se formează în primul rând zerourile finale. Un zero final se formează atunci când multiplul lui 5 este înmulțit cu un multiplu de 2. Acum tot ce trebuie să facem este să numărăm numărul de 5 și 2 din multiplicare.
Fiecare pereche de 2 și 5 va provoca un zero final. Deoarece avem doar 24 5, putem face doar 24 de perechi de 2 și 5, astfel numărul de zerouri finale în 100 factorial este 24 .
2. La întrebare se poate răspunde și folosind formula simplă dată mai jos:
Formula de mai sus ne oferă numărul exact de 5s în n! deoarece va avea grijă de toți multiplii de 5 w care sunt mai mici de n. Nu numai că va avea grijă de toți multiplii de 25, 125 etc. (puteri mai mari de 5).
Sfat: În loc să împărțiți la 25, 125 etc. (puteri mai mari de 5); ar fi mult mai rapid dacă ați împărți la 5 recursiv.
Să folosim acest lucru pentru a rezolva câteva exemple:
Q) Care este numărul de zerouri finale din 100! ?
[100/5] = 20
Acum putem fie împărți 100 la 25, fie rezultatul din pasul de mai sus, adică 20 la 5.
[ 20/5] = 4. Este mai puțin de 5, deci ne oprim aici.
Răspunsul este – 20+ 4 = 24 (răspuns direct în doar câteva secunde)
Q) Care este numărul de zerouri finale în 200! ?
[200/5] = 40
Acum putem împărți 200 la 25 sau rezultatul din pasul de mai sus, adică 40 la 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Este mai puțin de 5, deci ne oprim aici.
Răspunsul este – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Care este numărul de zerouri finale din 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Este mai puțin de 5, deci ne oprim aici.
Răspunsul este – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Dacă aveți întrebări, vă rugăm să ne întrebați în secțiunea de comentarii.