Cel mai bun răspuns
Va explica cu ajutorul unui exemplu. Figura arată o fermă încărcată și susținută așa cum se arată. Interesul nostru este să aflăm reacțiile și forțele din toți membrii unei ferme. Reacțiile și forțele din membri depind nu numai de amploarea și direcția forțelor aplicate, ci și de locația lor, adică de punctele de aplicare. Diagrama spațială are grijă de punctul de aplicare a forțelor și de geometria fermei.
Figura de mai sus este doar pentru a obține reacțiile. Forța aplicată P\_1 este ab și forța P\_2 este bc în diagrama vectorială. Reacția R\_1 este egală cu da și Reacția R\_2 este egală cu cd în diagrama vectorială.
Putem continua cu diagrama spațială și diagrama vectorială pentru a calcula forțele din toți membrii. Nu se face aici doar pentru a păstra figura foarte ușor de înțeles.
Condiția de echilibru este îndeplinită atunci când diagrama vectorială și poligonul funicular se închid.
Răspuns
nu este pe deplin clar ce înseamnă „poziții” aici, dar cred că un răspuns ar putea fi că vectorii nu au poziții, dar spațiile vectoriale pot avea poziții, iar aceste două idei acoperă aplicațiile.
Eu Presupunând că lipsa „poziționalității” din întrebare se referă la faptul că „săgețile” paralele de aceeași lungime și orientare reprezintă același vector. Există numeroase motive pentru introducerea acestei convenții.
- Una dintre ideile fundamentale care stau la baza utilizării vectorilor de bază este conceptul de deplasare , care este, de asemenea, sursa de viteză, accelerație și (prin F = ma) forță. Deplasările nu au poziție, ci mai degrabă există o deplasare potențială a unei direcții și magnitudini date la fiecare poziție. Dacă spunem „mergeți la zece mile spre nord-vest”, aceasta este o instrucțiune de deplasare care se aplică peste tot și nu doar într-o anumită locație.
- Deplasările pot fi combinate, dar numai dacă a doua deplasare începe acolo unde se termină prima . Dacă deplasările sunt reprezentate de săgeți, atunci, pentru a obține deplasarea combinată, una dintre săgeți trebuie tradusă pentru a obține o configurație coadă-cap pentru deplasarea combinată. Desigur, acest lucru nu ar avea sens dacă săgeata tradusă nu ar continua să reprezinte aceeași deplasare.
- Experiența cu comportamentul forțelor necesită abilitatea de a traduce săgețile forței în jur, deoarece în ceea ce privește forțele obiectele se comportă ca și cum toată masa lor ar fi concentrată în centrul lor de greutate și toate forțele acționează asupra acelui punct. (Am fost atent cu limbajul meu cursiv aici, deoarece se întâmplă ceva diferit atunci când sunt introduse cuplurile!)
Abstracția matematică care acoperă toate aceste situații este spațiul vectorial. Dacă trebuie să avem săgeți care pot fi localizate oriunde, atunci impunem o relație de echivalență asupra setului de săgeți, făcând două săgeți echivalente dacă sunt paralele și au aceeași direcție. („Aceeași direcție” are un conținut intuitiv care este puțin dificil de sistematizat.) Un vector devine apoi o clasă de echivalență a săgeților, și adunarea vectorială este definită prin luarea reprezentanților de clasă „convenabili” și adăugarea lor fie prin legea coadă-cap, fie prin legea paralelogramului. iar reprezentanții lor nu ar trebui să pară deloc ciudați; este exact ceea ce facem cu fracțiile. O „fracțiune” poate fi considerată a fi o clasă de echivalență a simbolurilor a / b (b \ ne 0) sub relația de echivalență a / b \ equiv (na) / (nb). Când vrem să adăugăm două „fracțiuni”, înrădăcinăm clasele de echivalență respective până când găsim doi reprezentanți cu același numitor și apoi adăugăm numeratorii. Adăugarea vectorială este foarte similară cu aceasta. Mai mult, cu fracțiile, există un set „preferat” de reprezentanți ai clasei, fracțiile „în termeni mai mici”. Pentru vectori, există, de asemenea, o clasă „preferată” de reprezentanți, vectorii ale căror cozi sunt la origine și acestea sunt ceea ce se consideră elemente abstracte ale unui spațiu vectorial când analogia săgeții este în joc.
Acum există situații în care contează cu adevărat unde este săgeata, deplasarea săgeții nu are sens, iar săgețile situate în diferite puncte nu pot și nu trebuie adăugate. O hartă meteo cu săgeți care reprezintă viteza vântului în diferite locații este un astfel de exemplu. Cuplurile menționate anterior sunt, de asemenea, un exemplu; locația unei forțe în raport cu centrul de greutate contează, iar săgeata forței nu poate fi transpusă într-un alt punct fără a modifica cuplul rezultat. (Rețineți, apropo, că cuplurile în sine sunt vectori decât se pot adăuga.) Pentru un exemplu matematic generic, câmpul de gradient al unui câmp scalar constă din săgeți fixate în anumite locații și care nu pot fi traduse în mod arbitrar.
O observație elementară despre acești vectori dependenți de poziție este că vectorul obișnuit legile spațiale (adunare și multiplicare scalară) continuă să se păstreze pentru toți vectorii la orice poziție fixă . Acest lucru ne spune că „soluția” la enigma dependentă de poziție este plasarea unui întreg spațiu vectorial în fiecare punct al spațiului în cauză. Spațiile rezultate sunt numit de obicei spații tangente , deoarece spațiul tangent într-un punct poate fi considerat a fi setul tuturor vectorilor de viteză pentru căile parametrizate prin acel punct (presupunând o diferențiere suficientă pentru descrierea pentru a avea sens).
Colecția tuturor spațiilor tangente se numește tangentă bundle, și acum, dacă aveți nevoie de un vector dependent de poziție în fiecare punct al spațiului dvs., aveți nevoie de o hartă de la spațiu la pachetul tangent care alege exact un vector în fiecare spațiu tangent la puncte distincte; o astfel de hartă se numește o secțiune a pachetului, iar colecția rezultată de vectori dependenți de poziție se numește câmp vectorial pe spațiul original.
În acest fel ajungem să avem tortul nostru și să-l mâncăm și noi; vectorii nu au „poziții”, dar spațiile vectoriale au.