Cel mai bun răspuns
În radiația electromagnetică (radiometrie), este o concentrație sau o funcție a lungimii de undă a unei iluminări (ieșire radiometrică).
Intensitatea radiantă și fluxul luminos sau puterea percepută a luminii sunt exemple de distribuție spectrală.
Distribuția spectrală a puterii pe spectrul vizibil dintr-o sursă poate avea concentrații variabile ale SPD-urilor relative. De exemplu, distribuția relativă a puterii spectrale a soarelui produce un aspect alb dacă este observată direct, dar când lumina soarelui luminează atmosfera Pământului, cerul apare albastru în condiții normale de lumină de zi.
SPD poate fi, de asemenea, folosit pentru a determina răspunsul unui senzor la o lungime de undă specificată.
Sper că ți-a plăcut acest răspuns! Te rog votează în sus și urmărește-mă 🙂
Răspunde
Poate că este util să luați în considerare mai întâi următoarea întrebare înșelătoare-elementară:
Întrebare: este o proprietate calitativă, non-algebrică, a unei matrici diagonalizabile, distingându-le de matricile non-diagonalizabile? (Uitați dacă diagonalizarea este făcută de unitar deocamdată.)
Un răspuns la această întrebare mută începe prin observarea faptului că matricile diagonale au următoarele
Proprietatea polinomială a matricelor diagonalizabile: Dacă A este o matrice diagonalizabilă, iar P este un polinom real, atunci P (A) depinde doar de valorile P (lamda) ale lui P la valorile proprii lamda lui A.
Aici folosim
Definiția aplicării unui polinom la o matrice: Dacă P (x) este un polinom
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2 + .. . Cn X ^ n
și A este o matrice, apoi definim
P (A) = C0 I + C1 A + C2 A ^ 2 + …
unde I este matricea identității și unde exponenții sunt formați folosind multiplicarea matricei.
Puteți dovedi această proprietate polinomială a matricelor diagonalizabile de mai sus diagonalizând A și uitându-vă la ce se întâmplă când luați un polinom al unei matrice diagonale.
Pentru o matrice diagonalizabilă se poate extinde noțiunea de aplicare a funcțiilor matricilor de la polinoame la fu arbitrar funcții folosind următoarele
Definiție (calcul funcțional pentru matricele diagonalizabile, formă neelegantă): Fie A o matrice diagonalizabilă și f o funcție cu valoare reală sau complexă a valorilor proprii ale lui A. Atunci f (A) este matricea
f (A) = M f (D) M ^ -1,
unde
A = MDM ^ -1
este o diagonalizare a lui A, cu diagonala D și M inversabilă și unde f (D) este format prin înlocuirea fiecărei intrări diagonale lamda a D by f (lamda).
Exemplu: Fie f (x) = x ^ (1/3) radacina cubică funcția și să fie A o matrice diagonalizabilă. Atunci C = f (A) este de fapt o rădăcină cubică a lui A: C ^ 3 = A.
Exemplu: Dacă A este nesingular și diagonalizabil și f (x) = 1 / x, atunci f (A) este matricea inversă a lui A.
Exemplu: Dacă A este diagonalizabil și f (x) = exp (x), atunci f (A) este exponențiala matricei lui A, dată de seria obișnuită a lui Taylor:
exp (A) = I + A + A ^ 2/2 + A ^ 3/3! + …..
Pentru a vedea că această definiție a lui f (A) este bine definită (adică independentă de diagonalizare) și pentru a vedea cum să procedăm în cazul non-diagonalizabil, este util pentru a defini din nou f (A) pentru diagonala A în următoarea formă:
Definiție alternativă (calcul funcțional pentru matricele diagonalizabile, formă mai bună): Fie A o matrice diagonală și f este o funcție cu valoare reală sau complexă a valorilor proprii ale lui A. Atunci f (A) = P (A), unde P este un polinom ales astfel încât f (lamda) = P (lamda) pentru fiecare lamă a valorii proprii a lui A.
În special, nu este nevoie să diagonalizăm de fapt o matrice pentru a calcula o funcție f (A) a matricei: interpolare a lui f la valorile proprii ale A oferă un polinom suficient pentru a calcula f (A).
Ce se întâmplă acum dacă A nu este diagonalizabil? Ei bine, dacă lucrăm peste numerele complexe, atunci forma normală a Jordan spune că, alegând o bază adecvată, o astfel de matrice poate fi scrisă ca o matrice bloc-diagonală, o suma directă a Jordan Blocks Jn like
J2 = a 1 0 a.
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
unde Jn este matricea anxn cu un număr complex a pe diagonală și un lanț de 1 „s deasupra diagonalei. Rețineți că, în fiecare caz, Mn are valoarea proprie unică a multiplicității n.
Niciunul dintre aceste blocuri Jordan nu este diagonalizabil, deoarece următoarea teoremă spune că Blocurile Jordan nu împart proprietatea polinomială pentru matricele diagonale :
Teorema: (Acțiunea polinoamelor asupra blocurilor Jordan) Fie P un polinom și să fie Jn un bloc nxn Jordan, de forma de mai sus. Atunci P (J) depinde doar de P (a) și de primele sale n derivate la a. IE
P (J2) = P (a) P „(a) 0 P (a)
P (J3) = P (a) P „(a) P” „(a) / 2 0 P (a) P” (a) 0 0 P (a)
P (J4) = P (a) P „(a) P” „(a) / 2! P” „(a) / 3! 0 P (a) P „(a) P” „(a) / 2! 0 0 P (a ) P „(a) 0 0 0 P (a)
și așa mai departe.
Se poate verifica teorema de mai sus verificându-l pentru monomii și apoi extinzându-se la polinoame, care sunt doar combinații liniare de monomii.
Pentru a vedea cum se leagă acest lucru de funcțiile de calcul ale matricelor, luați în considerare următoarea problemă, care aplică funcția rădăcină cub matricelor:
Problemă (rădăcini cubice ale matricelor): Fie A o matrice ningulară mxm reală sau complexă. Găsiți o rădăcină cub C = A ^ (1/3) a lui A, adică o matrice C astfel încât A = C ^ 3.
Oferim două soluții: Prima implică calculul explicit al formei Jordan a matricea A, iar a doua utilizează doar existența formei Jordan, fără calcul explicit.
Soluția 1: Prin formularul Jordan , putem descompune matricea A în blocurile Jordan Jn printr-o alegere a bazei, deci restrângem considerarea la cazul că A = Jn pentru unele n. De exemplu, pentru un număr complex a,
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
Acum nu este greu să arăți că există un polinom
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2
astfel încât la valoarea proprie a lui J3 se are
P (a) = a ^ (1/3) P „(a) = 1/3 (a ^ (1/3)) ^ (-2) P” „(a) = -2/9 (a ^ (1/3)) ^ ( -5)
(Deoarece presupunem că nici o valoare proprie nu este 0 nimic nu este infinit.)
(IE P este funcția x -> x ^ 1/3 până la a doua derivată la punctul x = a. Există o anumită ambiguitate în definiția a ^ 1/3 în cazul complex, așa că am scris un ^ (- 2/3) = (a ^ (1/3)) ^ ( -2) pentru a avea grijă de acest lucru, ceea ce înseamnă că aceeași rădăcină cubică este utilizată în toate cele trei formule.) De fapt
P (X) = (5 a ^ (1/3) + 5 a ^ (-2/3) x – a ^ (- 5/3) x ^ 2) / 9,
deși nu a fost nevoie să calculăm P, deoarece din formula generală pentru P (J3) în teorema de mai sus,
P (J3) = a ^ 1/3 1/3 a ^ (- 2/3) -2/9 a ^ (- 5/3) 0 a ^ (1 / 3) 1/3 a ^ (- 2/3) 0 0 a ^ (1/3)
Aceasta este doar rădăcina noastră cubică dorită a lui J3!
C = P (J3).
Pentru a vedea această notă că
C ^ 3 = (P (J3)) ^ 3 = (P ^ 3) (J3) = R (J3),
unde R (x) este polinomul satisfăcător
R (x) = (P (x)) ^ 3.
Proprietatea importantă a lui R este că punctul x = a, polinomul R = P ^ 3 corespunde funcției de identitate x -> x până la derivate de ordinul 2
R (a) = a R „(a) = 1 R” „(a) = 0,
astfel încât prin formula generală pentru un polinom aplicat unui bloc Jordan,
C ^ 3 = R (J3) = R (a) R „(a) R „” (a) / 2 = a 1 0 = J3, 0 R (a) R „(a) = 0 a 1 0 0 R (a) = 0 0 a
după dorință.
Soluția 2: Dacă A este o matrice mxm, atunci găsiți un polinom P (x) astfel încât la fiecare valoare proprie x = a lui A polinomul și derivatele sale de ordin până la m-1 se potrivesc cu funcția dorită x -> x ^ 1/3. Atunci C = P (A) este rădăcina cubică dorită a lui A.
Rețineți că soluția 2 funcționează deoarece toate blocurile Jordan ale lui A vor avea o dimensiune mai mică de n, iar prin soluția 1 polinomul P va înlocui fiecare bloc jordan cu rădăcina sa cubică. Deoarece nu ne-am obosit să calculăm în mod explicit forma Jordan a lui A, polinomul P pe care l-am folosit poate fi de un grad inutil, deoarece nu știam lungimile lanțurilor Jordan. Cu toate acestea, interpolarea polinomială probabil nu a funcționat la fel de mult ca și calculul formei Jordan. (Mai mult, în acest mod am evitat orice instabilități numerice asociate formei Jordan și degenerează valorile proprii.)
Exemplul cubului root invită următoarea definiție:
Definiție (varianta calculului Dunford în cazul dimensiunii finite) : Fie A o auto- matrice adjunctă. Fie f o funcție reală sau complexă al cărei domeniu conține valorile proprii ale lui A. Apoi
f (A) = P (A),
unde P (x) este un polinom astfel încât pentru fiecare valoare proprie x = a
P (a) = f (a) P „(a) = f” (a) P „” (a) = f „” (a ) …………
unde numărul de derivate potrivite este cel puțin de dimensiunea celui mai mare lanț de 1 „în blocul Jordan corespunzător valorii proprii a.
Se poate verifica dacă rezultatul aplicării funcției x-> 1 / x la o matrice A este de fapt matricea inversă obișnuită a lui A. Se poate verifica, de asemenea, că rezultatul aplicării funcției exponențiale sau funcția de sinus la o matrice A este aceeași cu aplicarea seriei Taylor corespunzătoare pentru exp sau sin la matricea A.
Noțiunea de a aplica o funcție la o matrice se numește „calcul funcțional”, care de aceea calculul Dunford este numit „calcul”.
În definiția calculului Dunford este standard să se solicite f să aibă derivate complexe și, în general, se definește acest lucru folosind formula integrală Cauchy în cazul infinit-dimensional. Am „tăiat toate acestea pentru a explica doar cazul cu dimensiuni finite simple și am evitat să explic ce este o derivată a unei funcții de la numerele complexe la numerele complexe. (Din fericire, funcția x-> x ^ (1/3) este infinit diferențiată pe realele diferite de zero.) Pot exista unele subtilități aici, dar încerc să ofer o imagine de ansamblu rapidă a conceptelor.
Prin urmare, este evident că, într-un anumit sens, forma Jordan este în esență calculul Dunford, iar teorema spectrală este calculul funcțional pentru operatorii autoadjuncti (Acesta din urmă este punctul de vedere luat de Reed și Simon în „Metode de Fizica matematică I: Analiza funcțională. Această discuție este doar de dimensiune finită, dar Reed și Simon consideră cazul infinit-dimensional.) funcțiile matricilor. Aceasta se numește calcul funcțional și există diverse calcule funcționale.
Acum autoadjuncția este puțin mai profundă, deoarece implică diagonalizabilitate unitară, nu doar diagonalizabilitate. Spațiile eigens devin ortogonale. Nu m-am gândit la o modalitate bună de a explica ce este intuitiv crucial în acest sens. Cu toate acestea, în mecanica cuantică spațiile egogonale ortogonale se disting perfect, iar autoadiacența devine o condiție naturală. valorile proprii ale operatorului său hamiltonian.
Venirea cu o explicație intuitivă a motivului pentru care mecanica cuantică implică o astfel de matematică este dincolo de mine.