Cel mai bun răspuns
\ frac {d} {dx} nu este un „lucru”. Ar trebui să vă gândiți la asta ca și cum ar fi numele unei acțiuni sau operațiuni sau a unei funcții care are o singură intrare. [1]
Mai exact, dacă f (x) este o funcție, este posibil să dorim să efectuați acțiunea de diferențiere asupra acelei funcții; un mod de a scrie acțiunea respectivă este \ frac {d} {dx} f (x). Aceasta înseamnă că f (x) este intrarea în operația de diferențiere-cu-respect-la-x.
Gramatic, atunci, \ frac {d} {dx} nu este „o propoziție completă” , sau chiar un substantiv autosuficient. Seamănă mai mult cu un verb, care are nevoie de un obiect direct. Acest obiect direct poate fi orice funcție a lui x – în special, dacă y este o funcție a lui x, atunci \ frac {d} {dx} y are sens să scrieți .În engleză, această expresie înseamnă „rezultatul luării derivatului-cu-respect-la-x al lui y”. Pentru scurtare, de obicei, scriem acest lucru ca \ frac {dy} {dx}, dar până când „nu vă simțiți bine cu notația \ frac {d} {dx}, vă sugerez să continuați să scrieți intrarea pentru operația de diferențiere spre dreapta, așa cum am făcut.
La a doua întrebare: regula lanțului este metoda de calcul a unei derivate a unei compoziții de funcții.
[1] Da, știu, și funcțiile sunt lucruri.
Răspuns
F funcția:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) unde x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Să „calculează \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Prin diferențierea (1) obținem:
(2) df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f } {\ partial x\_ {n}} dx\_ {n}
Dacă împărțim ambele părți la dt rezultatul este:
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Obținem rezultatul final:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} x „\_ {1} (t) + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {n}} x „\_ {n} (t) Această derivare se face utilizând definiția diferențialului unei funcții multivariabile (ecuația (2)).
Deci, cum am obținut această definiție? Să vedem mai întâi cum definim f diferențiat la un moment dat A.
Dacă putem arăta că diferențialul total al unei funcții f la un moment dat A arată astfel:
\ triunghiul f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ triangle x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
unde p\_ {k} este un coeficient numeric, \ omega este o funcție care are o proprietate care \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 și \ rho (X, A) este distanța euclidiană între A și X, atunci spunem că funcția f poate fi diferențiată la punctul A.
Acum, vom avea nevoie de încă o teoremă:
Expression \ omega (X) \ rho (X, A) din să fie scris ca:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Dovadă:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
deoarece | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), deoarece | x\_ {k} -a\_ {k} | este marginea unui d \ rho (X, A) este diagonala paralelipipedului cu unghi drept, putem lua fracția pentru a fi \ epsilon\_ {k} (X).
Acum avem nevoie de încă o teoremă pentru a ajunge la diferențial. Această teoremă ne oferă condițiile necesare pentru a avea diferențialul funcției.
Dacă funcția f este poate fi diferențiat la un moment dat A, atunci există diferențiale parțiale în acel moment și este adevărat că:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Dovadă:
Deoarece am spus că f poate fi diferențiat în punctul A putem scrie:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Să spunem că n-1 variabile sunt constante și vom lăsa o singură modificare de puțin. De exemplu: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, obținem:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. În partea stângă avem diferențial față de x\_ {1}. Dacă împărțim ambele părți la x\_ {1} -a\_ {1} = \ triunghi x\_ {1} vom obține:
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triangle x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Acum, dacă x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , adică \ triangle x\_ {1} \ mapsto 0, pe partea stângă avem diferențial parțial față de x\_ {1}, iar pe partea dreaptă rămânem cu p\_ {1} pentru că am spus că \ omega (X) \ mapsto 0. Este ușor să vedem că același rezultat se aplică indiferent de variabila pe care am ajuns să o schimbăm, de aceea am dovedit această teoremă. De aici avem acel
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ { n}} dx\_ {n} pe care l-am folosit pentru a găsi soluția.