Cel mai bun răspuns
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
Pentru x + 2 = 0, avem x = -2
Pentru x ^ 2-2x + 4 = 0, trebuie să o rezolvăm cu formula pătratică:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 – 4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Obținem soluția x = 1 + i \ sqrt {3} și x = 1 – i \ sqrt {3}
Dacă vorbim despre numere reale, -8 are o rădăcină cubică: -2
Dacă vorbim despre numere complexe, -8 are trei rădăcini cubice: -2, 1 + i \ sqrt {3} și 1 – i \ sqrt { 3}
Răspuns
Nu declarați dacă doriți răspunsul într-un context real sau într-un context complex. Există o rădăcină reală și o pereche de rădăcini conjugate complexe. Afirmați „rădăcina cubului” în formă singulară. Prin urmare, pare firesc să luăm în considerare cazul unui context real cu o singură rădăcină reală și separat cazul rădăcinii principale într-un context complex.
În context real, rădăcina cubică a −8 este −2.
Într-un context complex, rădăcina cubă principală a −8 este 1 + i \ sqrt {3}. Acest lucru ar putea părea ciudat că rădăcina selectată într-un context real nu este selectată și într-un context complex, chiar dacă rădăcina reală este disponibilă. Cu toate acestea, rădăcina principală într-un context complex este cea care este cea mai apropiată de a fi pe axa reală pozitivă și, dacă două sunt legate pentru a fi cele mai apropiate, luați-o pe cea cu partea imaginară pozitivă. Rădăcina cubului nu este o funcție continuă în planul complex – există o ramură tăiată de-a lungul axei reale negative.